一、稳定性基本定义

1.1 稳定性

定义1（stable）：平衡点 $x=0$ ，在 $t_{0}$ 时刻是稳定的，如果对于任意 $\epsilon > 0$ ，存在一个常数 $\delta (t_{0},\epsilon )> 0$ ，使得

$\left \| x(t_{0}) \right \|< \delta (t_{0},\epsilon )\Rightarrow \left \| x(t) \right \|< \epsilon ,\forall t\geq t_{0}$
其中， $x$ 为系统状态向量。如果 $\delta (t_{0},\epsilon )=\delta (\epsilon )$ ，即 $\delta$ 与初始时刻无关，那么称该平衡点是一致稳定的。

1.2 渐近稳定性

定义2(asymptotically stable)：平衡点 $x=0$ ，在 $t_{0}$ 时刻是渐近稳定的，如果存在一个常数 $\delta > 0$ ，使得

$\left \| x(t_{0}) \right \|< \delta\Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty }\left \| x(t) \right \|=0$

说明：对于定义1， $\delta$ 的选取应不大于给定常数 $\epsilon$ 。而通常情况下， $\delta$ 远小于 $\epsilon$ 。其实，稳定性的物理意义说明系统有个初始状态 $x(t_{0})$ ，在某一输入的驱动下，系统从这一初始状态运动到末态 $x(t)$ 。现在，如果有扰动使系统的初始状态在 $\left \| x(t_{0}) \right \|< \delta$ 的这一小范围内发生偏离，若系统的终态仍能回到给定的 $\left \| x(t) \right \|< \epsilon$ 范围内，那么就说 $x=0$ 这一点是稳定的。当然，初态能够偏离的范围 $\delta$ 的大小与你给定的末态偏离范围 $\epsilon$ 有关。渐进稳定首先是稳定的，并且当 $t$ 趋于无穷时，若系统的初始状态在 $\left \| x(t_{0}) \right \|< \delta$ 范围内，系统的终态都会回到零点。可见，渐进稳定比稳定对系统的要求要严格地多，前者要求系统的末态趋于一个点，而后者只需使末态在某个范围内；前者要求末态趋近的这一点必须是零点，后者只需使末态所在的范围是零点周围的一个区域。

二、有界性的基本定义

2.1 一致有界性

定义3(uniformly bounded, UB)：系统微分方程的解为 $x$ ，且 $x\left ( t_{0} \right )=x_{0}$ ，若系统一致有界，则对于某个 $\delta > 0$ ，存在一个正常数 $d\left ( \delta \right )< \infty$ ，使得对于所有的 $t> t_{0}$ ，都有
$\left \| x\left ( t_{0} \right ) \right \|< \delta \Rightarrow \left \| x\left ( t \right ) \right \|< d\left ( \delta \right )$
成立。这里 $d$ 可能与 $\delta$ 有关，但与 $t_{0}$ 一定无关（一致性）。

物理含义：系统从初态出发，经过一段时间，末态总能稳点在某个给定的球域内。

2.2 最终一致有界

定义4(ultimately uniformly bounded, UUB)：系统微分方程的解为 $x$ ,且 $x\left ( t_{0} \right )=x_{0}$ ，若系统最终一致有界，则对于某个包含原点的集合 $W\subset R^{n}$ ，存在一个非负常数 $T\left ( x_{0} ,W\right )< \infty$ ，使得对于所有 $t> t_{0}+T$ ，都有

$\left \| x\left ( t_{0} \right ) \right \|< \delta \Rightarrow x\left ( t \right )\in W$

成立。这里 $W$ 可能与 $x_{0}$ 有关，但一定与 $t_{0}$ 无关。

物理意义：系统从初态出发，经过一段时间，末态总能回到原点附近某个给定的球域内。

说明：定义4中的集合 $W$ 通常是用以原点为球心、 $\epsilon$ 为半径的一个超球(hyper-ball)来描述的，即 $W=B(0,\epsilon )$ 。如果 $\epsilon \geq d(\delta )$ ，UUB就退化成UB。虽然在定义4中没有明确指出，但是UUB主要是指 $\epsilon$ 很小的情况，它代表了一种比UB要求更严格的稳定性。UUB的物理意义也就是说，系统从初态出发，经过一段时间，末态总能回到原点附近某个给定的球域内。

参考文献：Khalil, Hassan K. "Nonlinear systems, 3rd." New Jewsey, Prentice Hall 9 (2002).

三、区别与联系

从左至右，从上到下依次表示稳定性、渐近稳定性、一致有界、最终一致有界。

从图中可发现，一致稳定与一致有界类似，而一致渐进稳定和一致最终有界类似。上述两组概念都能描述系统的稳定性，那么何时用第一组概念？何时用第二组概念？

注意，Lypunov稳定性都是针对平衡点定义的。定义1、2中首先就说了系统的平衡点是原点，然后才陈述在什么条件下这个平衡点是稳定的。也就是说，用Lypunov理论讨论系统的稳定性时，实质讨论的是关于这一平衡点的稳定性，如果系统在这一平衡点处受到扰动，但仍能回复到指定的范围内，那么系统关于这一平衡点就是稳定的。

但是，对于一些包含未知扰动量的不确定系统，也就是在鲁棒控制(robust control)中讨论的一些系统，系统的平衡点是无法确定的，因此第一组中针对平衡点的定义对这些不确定系统(uncertain system)就变得毫无意义。因为系统在不确定量的扰动下，可能根本就没有平衡点。所以对这一类uncertain system稳定性的分析，就可以通过微分方程的解与原点的接近程度来描述。这样，就引出了第二组概念UB和UUB。也就是说，第二组概念是专门用来分析不确定系统的稳定性的。

总结

稳定和渐进稳定是描述具有平衡点的确定系统的稳定性的，讨论的是系统受到扰动后回复到平衡点的能力；
UB和UUB是描述鲁棒控制中不确定系统的稳定性的，讨论的是微分方程的解与原点的接近程度；
渐进稳定要求系统的末态趋于零点，稳定只需使末态保持在某个范围内，且该范围远大于初态所约束的范围；
UUB要求系统末态所在的超球半径远小于初态所在的超球半径，即UUB是比UB要求更严格的一种稳定性；
在实际中，UUB是不确定系统所能达到的最好的稳定性。

上述内容来源于CSDN博主「lala你好哇」的原创文章，原文链接：稳定&渐进稳定，一致有界&一致最终有界

四、有界性的判断条件

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