对面积的曲面积分中dS与dxdy的转换

如图所示，假设曲面z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)上一小块ΔS\Delta SΔS在xoy轴上的投影为矩形ABCD，由于取的块足够小，可以将其视为平行四边形。则ΔS\Delta SΔS与ΔxΔy\Delta x \Delta yΔxΔy的关系可以视为平行四边形EFGH的面积与矩形ABCD面积之间的关系。

矩形ADADAD的长度为Δx\Delta xΔx（x的变化量），ABABAB的长度为Δy\Delta yΔy（y的变化量），则
SABCD=ΔxΔyS_{ABCD}=\Delta x\Delta y SABCD=ΔxΔy

EEE点坐标为(x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y))，FFF点坐标为(x,y+Δy,f(x,y+Δy))(x,y+\Delta y,f(x,y+\Delta y))(x,y+Δy,f(x,y+Δy))，其中f(x,y+Δy)f(x,y+\Delta y)f(x,y+Δy)可以使用线性近似，即f(x,y+Δy)≈f(x,y)+Δy⋅fy′f(x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta y\cdot f_y^\primef(x,y+Δy)≈f(x,y)+Δy⋅fy′，则FFF点坐标为(x,y+Δy,f(x,y)+Δy⋅fy′)(x,y+\Delta y,f(x,y)+\Delta y\cdot f_y^\prime)(x,y+Δy,f(x,y)+Δy⋅fy′)，同理可得HHH点的坐标为(x+Δx,y,f(x,y)+Δx⋅fx′)(x+\Delta x,y,f(x,y)+\Delta x\cdot f_x^\prime)(x+Δx,y,f(x,y)+Δx⋅fx′)，则
EF→=(0,Δy,Δy⋅fy′)\overrightarrow{EF}=\left( 0,\Delta y,\Delta y\cdot f_y' \right) EF=(0,Δy,Δy⋅fy′)
EH→=(Δx,0,Δx⋅fx′)\overrightarrow{EH}=\left( \Delta x,0,\Delta x\cdot f_x' \right) EH=(Δx,0,Δx⋅fx′)
EF→×EH→=∣i^j^k^0ΔyΔy⋅fy′Δx0Δx⋅fx′∣=(ΔxΔy⋅fx′,ΔxΔy⋅fy′,−ΔxΔy)=(fx′,fy′,−1)ΔxΔy\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EH}=\left| \begin{matrix} \widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ 0& \Delta y& \Delta y\cdot f_y'\\ \Delta x& 0& \Delta x\cdot f_x'\\ \end{matrix} \right|=\left( \Delta x\Delta y\cdot f_x',\Delta x\Delta y\cdot f_y',-\Delta x\Delta y \right) =\left( f_x',f_y',-1 \right) \Delta x\Delta y EF×EH=∣∣∣∣∣∣i0ΔxjΔy0kΔy⋅fy′Δx⋅fx′∣∣∣∣∣∣=(ΔxΔy⋅fx′,ΔxΔy⋅fy′,−ΔxΔy)=(fx′,fy′,−1)ΔxΔy
ΔS=∣EF→×EH→∣=(fx′)2+(fy′)2+1ΔxΔy\Delta S=\left| \overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EH} \right|=\sqrt{\left( f_x' \right) ^2+\left( f_y' \right) ^2+1}\ \Delta x\Delta y ΔS=∣∣∣EF×EH∣∣∣=(fx′)2+(fy′)2+1 ΔxΔy
取微元
dS=(fx′)2+(fy′)2+1dxdydS=\sqrt{\left( f_x' \right) ^2+\left( f_y' \right) ^2+1}\ dxdy dS=(fx′)2+(fy′)2+1 dxdy

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