A星算法解决修道士与野人问题

1. 运行环境

CPU：I5-10400
内存：16GB
系统：Win10 64位专业版，20H2
IDE：Vistual Studio 2019专业版

2. 问题描述

假设有 n 个修道士和 n 个野人准备渡河，但只有一条能容纳 c 人的小船，为了防止野人侵犯修道士，要求无论在何处，修道士的个数不得少于野人的人数（除非修道士个数为0）。如果两种人都会划船，试设计一个算法，确定他们能否渡过河去，若能，则给出一个完整的渡河方案。

3. 算法简介

3.1 A算法的基本原理分析

在或图的一般搜索算法中，如果在搜索过程的利用估价函数f(n)=g(n)+h(n)对open表中的节点进行排序，则该搜索算法为A算法。

g(n)：从初始节点到n的实际代价。因为n为当前节点，搜索已达到n点，所以g(n)可计算出。
h(n)：启发函数，从n到目标节点的最佳路径的估计代价。因为尚未找到解路径，所以h(n)仅仅是估计值。

对A算法中的g(n)和h(n)做出限制：

g(n) >= g(n)（g*(n)为S0到n的最小费用）
h(n) <= h*(n)（h*(n)为n到Sg的实际最小费用）

则算法被称为A*算法。

3.2 评估函数

评估函数：F = G + H

F：搜索的总代价。
G：开始状态到当前状态的代价。
H：当前状态到结束状态的预估代价。

A星算法具有启发策略，在于其可以通过预估H值，降低走弯路的可能性，更容易找到一条更短的路径。其他不具有启发策略的算法，没有做预估处理，只是穷举所有可通过路径，然后从中挑选出一条最短的路径。

3.3 算法流程

将初始节点S0放入Open表中。
建立Close表，初始值为空。
如果Open表为空，则问题无解，退出。
从Open表中取出第一个节点n，并将n放入Close表中。
考察节点n是否是目标节点。如果是，则得到了问题的解，解的路径通过n到S0的指针获得，退出。
如果节点n不可拓展，则转到第2步。
扩展节点n，将子节点放入Open表中，并为每个子节点分配指向父节点的指针。
将Open表中的节点按照评估函数F值从小到大的顺序重新进行排序。
转向第3步。

4. 解决思路

4.1 状态空间表示方式

在这个问题中，需要考虑：

两岸的传修道士人数和野人人数。
船在左岸还是在右岸。

已知传教士和野人数：N（两者默认相同），船的最大容量：K。定义M：左岸传教士人数。C：左岸野人人数。B：左岸船个数。可用一个三元组来表示左岸状态，即S=(M, C, B)。将所有扩展的节点和原始节点存放在同一列表中。初始状态为（N, N, 1），目标状态为（0, 0, 0）。问题的求解转换为在状态空间中，找到一条从状态(N, N, 1)到状态(0, 0, 0)的最优路径。

4.2 评估函数

评估函数建立：f = d + h = d + M + C - 2*B。

M：左岸修道士的人数。
C：左岸野人的人数。
B：取0或1。0表示船在右岸，1表示船在左岸。
d：表示状态搜索深度，每次从当前状态搜索到下一状态时，下一状态在当前状态的深度基础上加1，初始状态的深度为0。

4.3 节点拓展

通过减少和增加修道士或也认得数量来拓展节点。当船在左岸时，向右岸移动，需要减少修道士和野人的数量；当船在右岸时，向左岸移动，需要增加修道士和野人的数量。

4.4 状态判断

左岸修道士人数等于总数或者为零：C>=0, C<=N。
左岸修道士人数在（0, N）之间时：C >=0 , M >= C , M <= N , C <= N , N-M >= N-C。
其他状态都不合法。

5. 关键代码

5.1 状态设计

定义结构体Node用来存储状态信息，包括左岸修道士和野人的人数，船在左岸还是右岸，当前状态的深度，当前状态到预估状态的预估代价，搜索总代价，指向下一结点的指针和指向父状态的指针。具体定义如下：

struct Node
{int m_M;       // 左岸的修道士人数int m_C;     // 左岸的野人人数int m_B;      // 1：船在左岸；0：船在右岸int m_d;       // 从开始状态到当前状态的代价，这里表示：结点深度int m_h;        // 当前状态到结束状态的预估代价，h = M + C -2*B;int m_f;      // 搜索总代价，f = d + h = d + M + C - 2*B;Node* next;        // 下一节点Node* father;    // 当前状态的父状态
public:Node();Node(int, int, int, int, Node*);~Node();
};

5.2 A*算法主要设计

起始状态为(N, N, 1), 每次从Open表中取出第一个结点，寻找可能的下一状态，并将当前结点加入Close表中。如果到达目标状态（0, 0, 0）时，搜索结束，输出生成结点数和搜索结点数。否则寻找当前结点的所有可能的下一状态。当整个Open表为空时，搜索结束。

while (m_Open->next != nullptr)
{Node* current = m_Open->next;m_Open->next = current->next;AddLinkList(m_Close, current);if (current->m_M == 0 && current->m_C == 0 && current->m_B == 0){std::cout << "搜索成功！生成节点：" << m_creatPoint << "，搜索节点：" << m_searchPoint << std::endl;m_endPoint = current;return true;}GetNext(current);
}

5.3 链表设计

为了便于存放生成的状态信息和已访问的状态信息，在MC类中设计了两个单链表，m_Open和m_Close。分别用于存放所有合法且没有访问的状态和所有已访问过的状态。

Node* m_Open;
Node* m_Close;

为了能够方便寻找Open表中搜索代价最小的状态，通过头插法，设计了一带头的升序单链表。在插入新结点时，如果到了链表尾部的，则直接在当前结点后面插入；否则与当前节点的下一结点比较，如果待插入结点的搜索代价小于当前结点下一结点的搜索代价，则将该结点插入当前结点后面，否则指链表的指针向下一结点移动。

void MC::AddLinkList(Node* LinkList, Node* node)
{Node* p = LinkList;while (p){if (p->next == nullptr){p->next = node;node->next = nullptr;return;}else if (node->m_f < p->next->m_f){node->next = p->next;p->next = node;return;}else p = p->next;}
}

5.4 输出设计

利用Node结点指向父结点进行递归倒序输出。

void MC::Output(Node* node)
{if (node == nullptr) return;if (node->father != nullptr) Output(node->father);std::cout << "(" << node->m_M << ", " << node->m_C << ", " << node->m_B << ")" << std::endl;
}

5.5 多线程设计

分配4个线程进行搜索，当某个线程搜索到结果时，while循环中的判断条件为真，搜索便完成。

bool MultiSearch()
{m_Open->next = new Node(m_M, m_C, 1, 0, nullptr);m_Open->next->next = nullptr;int N = 0;const int ThSize = 4;std::thread th[ThSize];for (int i = 0; i < ThSize; ++i) th[i] = std::thread(MultiGetNext);for (int i = 0; i < ThSize; ++i) th[i].detach();while (true) if (m_endPoint != nullptr) return true;
}

6. 运行结果与分析

C++20个结点单线程

C++20结点多线程

C++1000个结点单线程

C++1000个结点多线程

在多线程的程序中，分配了4个线程。从上图中不难发现，当搜索结点比较少时，多线程相较于单线程的运行优势体现的并不明显。这一方面是由于数据量比较小，运行时间都比较短；另一方面由于线程的创建和销毁都需要一定的时间，此外在多线程程序中，对共享数据需要互斥访问，对数据上锁和解锁的操作也耗费了一定的时间。当数据量比较大时，多线程的速度优势就体现出来了。

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