图论：SPFA 算法详解( 算法竞赛入门到进阶) HDU 2544 链式前向星【提供ACM模板+图解，不会都难！】

文章目录

SPFA简介
链式前向星介绍
SPFA算法思路详细
模板-链式前向星

参考书籍:算法竞赛入门到进阶罗勇军

SPFA简介

用队列处理Bellman-Ford算法可以很好地优化，这种方法叫做SPFA。SPFA的效率很高，在算法竞赛中的应用很广泛。

Bellman-Ford算法有很多低效或无效的操作。分析Bellman-Ford算法，其核心部分是在每一轮操作中更新所有结点到起点s的最短距离。根据前面的讨论可知，计算和调整一个结点u到s的最短距离后，如果紧接着调整u的邻居结点，这些邻居肯定有新的计算结果；而如果漫无目的地计算不与u相邻的结点，很可能毫无变化，所以这些操作是低效的。

因此，在计算结点u之后，下一步只计算和调整它的邻居，这样能加快收敛的过程。这些步骤可以用队列进行操作，这就是SPFA

SPFA很像BFS；

①起点s入队，计算它所有邻居到s的最短距离（当前最短距离，不是全局最短距离。在下文中，把计算一个结点到起点s的最短距离简称更新状态。最后的“状态”就是SPFA的计算结果）。把s出队，状态有更新的邻居入队，没更新的不入队。也就是说，队列中都是状态有变化的结点，只有这些结点才会影响最短路径的计算。

②现在队列的头部是s的一个邻居u。弹出u,更新其所有邻居的状态，把其中有状态变化的邻居入队列。

③这里有一个问题，弹出u之后，在后面的计算中u可能会再次更新状态（后来发现，u借道其他结点去s，路更近）。所以，u可能需要重新入队列。这一点很容易做到：在处理一个新的结点v时，它的邻居可能就是以前处理过的u，如果u的状态变化了，把u重新加入队列就行了。

④继续以上过程，直到队列空。这也意味着所有结点的状态都不再更新。最后的状态就是到起点s的最短路径。

上面的第(3)点决定了SPFA的效率。有可能只有很少结点重新进入队列，也有可能很多。这取决于图的特征，即使两个图的结点和边的数量一样，但是边的权值不同，它们的SPFA队列也可能差别很大。所以，SPFA是不稳定的。

在比赛时，有的题目可能故意卡SPFA的不稳定性：如果一个题目的规模很大，并且边的权值为非负数，它很可能故意设置了不利于SPFA的测试数据。此时不能冒险用SPFA，而是用Dijkstra算法。Dijkstra算法是一种稳定的算法，一次迭代至少能找到一个结点到s的最短路径，最多只需要m(边数)次迭代即可完成。

链式前向星介绍

（链式前向星的优点）

存储效率高、程序简单、能存储重边

以结点2为例，从点2出发的边有4条，即（2,1）（2,3）（2,4）（2,5），邻居是1、3、4、5 。

①定位第1个边。用head[ ]数组实现，例如head[ 2 ]指向结点2的第1个边，head[ 2 ] = 8 ，它存储在 edge[ 8 ] 这个位置。

②定位其他边。用struct edge 的next参数指向下一个边。edge[ 8 ] .next = 6,指向下一边在edge[ 6 ]这个位置，然后edge[ 6 ].next = 4,edge[ 4 ].next = 1,最后edge[ 1 ].next = -1 , -1表示结束。

struct edge的to参数记录这个边的邻居结点。例如edge[ 8 ].to = 5,第一个邻居是点5；然后edge[ 6 ].to = 4,edge[ 4 ].to = 3,edge[1].to = 1,得到邻居是1、3、4、5。

由于链式前向星用静态数组来模拟邻接表，没有任何浪费，故是空间效率最高的存储方法。

SPFA算法思路详细

具体参考这篇博客：
SPFA算法实例分析【图解+详细松弛操作】

模板-链式前向星

HDU 2544的SPFA算法代码（链式前向星）

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=1000005;
const int INF=INT_MAX/10;
struct node{int to,ne,w;
}stu[maxn];
int n,m,cnt;
int head[maxn]; //头结点静态数组
int dis[maxn];  //记录所有节点到源点的距离
int Neg[maxn];  //判断负圈(Negative loop)
bool vis[maxn]; vis[i]=true表示结点i在队列中
void init(){  //初始化for(int i=0;i<maxn;i++){head[i]=-1;stu[i].ne=-1;}cnt=0;
}
void add(int u,int v,int w){  //前向星存图stu[cnt].to=v;stu[cnt].w=w;stu[cnt].ne=head[u];head[u]=cnt++;
}
int spfa(int s){memset(Neg,0,sizeof(Neg));Neg[s]=1;for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF,vis[i]=false;  //初始化dis[s]=0;                     //源点到自己的距离为0queue<int> Q;Q.push(s);vis[s]=true;                  //源点进队列while(!Q.empty()){int u=Q.front(); Q.pop();vis[u]=false;for(int i=head[u];~i;i=stu[i].ne){   //~i也可以写成i!=-1int v=stu[i].to;int w=stu[i].w;if(dis[v]>dis[u]+w){            //u的第i个邻居v，它借道u，到s更近dis[v]=dis[u]+w;            //更新第i个邻居到s的距离if(!vis[v]){                vis[v]=true;Q.push(v);Neg[v]++;if(Neg[v]>n) return 1; //出现负圈情况}}}}return 0;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);while(cin>>n>>m&&(n+m)){init();while(m--){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;add(u,v,w);add(v,u,w);}spfa(1);cout<<dis[n]<<endl;}return 0;
}

学如逆水行舟，不进则退