【组合数学】放小球之隔板法

2024-06-04 02:33:34

题目描述

N个盒子排成一行（1<=N<=20）。你有A个红球和B个蓝球。0 <= A <= 15, 0 <= B <= 15。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。

输入

一行，N，A，B，用空格分开。

输出

一行，输出放置方案总数。

样例输入

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2 1 1

样例输出

分析：

主要是想通过这道题整理一下组合数学的一些基本概念。

题目说球不必全部放入盒子中，我们先假定它要全部放进去，这时应该怎么算呢？

先考虑红球，A个红球放进N个盒子里，因为盒子是排成一行的，即盒子是有顺序的，所以我们可以设：

第一个盒子放x1个.....第n个盒子放xn个，即有：x1+x2+...+xn=A。

显然，我们需要把A拆成N份，但是每份可以为空，所以我们把每个x都加上一,即转化为：

(x1+1)+(x2+1)+....+(xn+1)=A+N。

这时候就简单了，把A+N分成N份，每份不能为空，这时候就用隔板法。

如图，在A+N-1个空中选N-1个放隔板：C(a+n-1,n-1).

但这是球必须放完的情况，那么想，如果球不放完，我们加一个盒子，把剩下的球放到第N+1个盒子中，是不是就是C(a+n,n)了呢？

至此，求出放A的方案和放B的方案，两者相乘，即为答案。

那么我又想bibi两句了，若何求C(n,k)呢？若是直接用n!/k!(k-n)!，肯定要炸，所以要边乘边除，

即：for(int i=1;i<=k;i++,n--)

s=s*n/i;

为什么要这么写，而不是s*n/k呢，因为这样可能出现除不尽的情况，但是为何那样写就可以除尽呢？

因为连续的n个正整数的乘积一定能被n!整除

证明：设a为非负数，

则n个正整数的乘积可表示为(a+1)(a+2)....(a+n) = (a+n)! / a! = (a+n)!/(a!n!) * n!

因为(a+n)!/a!n! = C(a+n,a)

所以(a+1)....(a+n)/n! = C(a+n,a)，而C(a+n,a)一定为正整数，证毕。

题解至此，可以上代码了吧。

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL unsigned long long
int n,a,b;
int main()
{cin>>n>>a>>b;LL s=1,s0=1;for(int i=1,j=n+a;i<=a;i++,j--)s=s*j/i;for(int i=1,j=n+b;i<=b;i++,j--)s0=s0*j/i;cout<<s*s0;
}

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