1. 内容

讨论多元一次不定方程： x 1 + x 2 + . . . + x d = t x_1 + x_2 + ... + x_d = t x1+x2+...+xd=t有解的情况
隔板法求解多元一次方程的正整数解的个数， d ≤ t d\leq t d≤t
隔板法求解多元一次方程的非负整数解的个数

2. 多元一次方程的正整数解( x i > 0 x_i>0 xi>0)的个数

k元一次方程： x 1 + x 2 + . . . + x d = t (1) x_1 + x_2 + ... + x_d = t\tag{1} x1+x2+...+xd=t(1)
假设方程（1）有正整数解，即 k ≤ t k\leq t k≤t。而方程（1）一定存在非负整数解，如其中一个非负整数解 ( x 1 = n , x 2 , . . . , d = 0 ) (x_1=n, x_{2,...,d}= 0) (x1=n,x2,...,d=0)。
方程(1)的正整数解的个数，可以看成是这样的组合计数问题:

将n个球排成一排，使用d-1个隔板将其分成d组，每组小球的个数是相应的一元变量的解。而该不定方程解的个数，等价于隔板有多少种放法？

显然，t个球会有t-1个位置来放置隔板，而从t-1个位置里选择d-1个位置来放置隔板，选法的个数就是要求的正整数解的个数： C t − 1 d − 1 C_{t-1}^{d-1} Ct−1d−1

例如： x 1 + x 2 = 7 x_1 + x_2 = 7 x1+x2=7的正整数解的个数
方法一： C 7 − 1 2 − 1 = C 6 1 = 6 C_{7-1}^{2-1}=C_6^1=6 C7−12−1=C61=6
方法二：枚举所有可能的正整数解:（1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) ，共6个。

3. 多元一次方程的非负整数( x i ≥ 0 x_i\geq0 xi≥0)解的个数

同样借助于 2中的隔板分球模型解决这个问题，关键在于如何体现 x i = 0 x_i = 0 xi=0的情况。
通过下面的方法实现，先说方法，在解释原理：
令 y i = x i + 1 ; i = 1 , 2 , . . . , d y_i = x_i + 1;\quad i = 1,2,...,d yi=xi+1;i=1,2,...,d，则:
y 1 + y 2 + . . . + y k = t + d (2) y_1 + y_2 + ... + y_k = t + d\tag{2} y1+y2+...+yk=t+d(2)
对方程（2）重复利用2中的隔板分球模型，能够得到多元一次不定方程的非负整数解的个数是： C t + d − 1 d − 1 C_{t+d-1}^{d-1} Ct+d−1d−1

原理分析：在2中，t个球会有t-1个位置来放置隔板，这样必然使得每组中至少有一个球。即解 x i > 0 x_i>0 xi>0。如果要使用2中的模型应用到3中求解，则要想办法表示出 x i = 0 x_i=0 xi=0对应的小球情况。而其余的 x i > 0 x_i>0 xi>0解的表示和2中相同。

既然搁板法将使得每组至少有一个球，很自然地想到，用组中只有一个球表示 x i = 0 x_i=0 xi=0的情况。所以，对于换元思想在这里应用就很合理了。于是，3中的问题得到解决。

例如： x 1 + x 2 = 7 x_1 + x_2 = 7 x1+x2=7的非负整数解的个数
方法一： C 7 + 2 − 1 2 − 1 = C 8 1 = 8 C_{7+2-1}^{2-1}=C_8^1=8 C7+2−12−1=C81=8
方法二：枚举所有可能的非负整数解: (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)，共8个。

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