算法设计与分析（期末复习重点）更新中
第一章 算法设计基础
- 算法的五大特性：输入、输出、可行性、有穷性、确定性
（1）输入：一个算法有零个或多个输入。
（2）输出：一个算法有一个或多个输出。
（3）可行性：算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现（每步可执行）。
（4）有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。算法的有穷性 意味着不是所有的计算机程序都是算法。
（5）确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。 - 算法的复杂性：时间复杂性和空间复杂性
第二章 算法分析基础
大O符号：
[例] T(n)=3n-1
当n≥1时， T(n)= 3n-1≤3n= O(n)
[例] T(n)＝5n2＋8n＋1
当n≥1时，5n2＋8n＋1≤5n2＋8n＋n＝5n2＋9n≤5n2＋9n2≤14n2＝O(n2)
公式推导递推问题：
常用的时间复杂度：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3) ＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) ＜Ο(nn)
第三章 蛮力法
- 蛮力法的基本思想：蛮力法依赖的基本技术——遍历技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素依次处理一次，从而找出问题的解。
熟记以下问题使用蛮力法的时间复杂度：
- 冒泡排序：O(n2)
- 0/1背包：典型子集问题， O(2n)
- 任务分配：典型排列问题，O(n!)
其它蛮力法的算法时间复杂度：
- 串匹配：BF算法：O(n*m)、KMP算法：O(n)
- 选择排序：O(n2)
- 最近对问题：O(n3)
第四章 分治法
分治法求解三个阶段：1.划分；2.求解子问题；3.合并；
分治法经典算法问题：
- 数字旋转方阵
- 归并排序
- 快速排序
- 最大字段和
快速排序
#include<iostream>
using namespace std;void Quick(int r[],int first,int end);
int part(int r[],int first,int end);int part(int r[],int first,int end)
{int i=first,j=end;while(i<j){while(i<j&&r[i]<=r[j]) j--; //右侧扫描if(i<j) //将较小记录交换到前面{int temp=r[i];r[i]=r[j];r[j]=temp;i++;}while (i<j&&r[i]<=r[j])i++; //左侧扫描if(i<j)//将较大记录交换到后面{int temp=r[i];r[i]=r[j];r[j]=temp;j--;}}return i;
}void Quick(int r[],int first,int end) //快速排序
{int pivot;if(first<end){pivot=part(r,first,end);//划分，pivot是轴值在序列中的位置；Quick(r,first,pivot-1);//对左侧子序列进行快速排序；Quick(r,pivot+1,end);//对右侧子序列进行快速排序；}
}
int main()
{int r[100],n;cout<<"数组的个数：";cin>>n;for(int i=0; i<n; i++){cout<<"输入第"<<i+1<<"个数：";cin>>r[i];}int first=1,end=n;Quick(r,first-1,end-1);for(int i=0; i<n; i++){cout<<r[i]<<" ";}return 0;
}
第五章 减治法
基本思想：
- 原问题划分为若干个子问题。
- 原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中，所以只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。
- 通常可以采用递归来实现。
减治法思想基本设计例子： 两个序列的中位数
附：时间复杂度为O(log2n)
两个序列S1、S2的中位数，分别记为a和b，比较a和b，有下列三种情况：
- 若a==b，则a或b即为两个序列的中位数；
- 若a<b，则舍弃S1中a之前和 S2中b之后的元素；
- 若a>b，则舍弃S2中b之前和 S1中a之后的元素；
假设A的中位数是a , B的中位数是b
(1) 当A、B长度为奇数时
中位数的 左半边个数 == 右半边个数
直接舍弃比a、b中的较小者更小的，和比其较大者更大的即可。
比如：两个给定的序列 A={11, 13, 15, 17, 19}, B={ 2, 4, 10, 15, 20}，
写出求解过程及最终结果。
(2) 当A、B长度为偶数时
中位数的左半边个数+1 == 右半边个数，为了保证舍弃的个数相等：
- 舍弃比a、b中的较小者更小的数时，连中位数一起舍弃；
- 舍弃比a、b中的较大者更大的数时，不用舍弃中位数；
比如：求序列A和B的中位数，A={6，13，15，16，17，25} , B={4，14，18，22，23，26}
写出求解过程及最终结果。
减治法经典算法问题：
- 折半查找
- 二叉查找树
- 选择问题（数字序列第k小问题）
- 假币问题
第六章 动态规划法
动态规划法经典算法问题：
- 数塔问题
- 最长递增子序列问题
- 最长公共子序列
- 0/1背包问题
第七章 贪心法
贪心法经典算法问题：
- TSP问题
- 图着色问题
- 最小生成树（两种算法）
- 背包问题
第八章 回溯法
回溯法经典算法问题：
- 素数环问题
- 图m着色问题
- 八皇后问题
素数环：
基本思想：从第一个位置开始，每个位置从数字1开始试探，每试探一个数字，检验两个条件：1. 是否被填过，2.当前数字与前面的数字之和是否为素数
代码：
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;const int N=20;
int a[N];void PrimeCircle(int n);
int Check(int k,int n);
int Prime(int x);
int main()
{int n;cout<<"请输入一个整数：";cin>>n;PrimeCircle(n);return 0;
}void PrimeCircle(int n)
{int i,k;for(i=0; i<n; i++)a[i]=0;a[0]=1;k=1;while(k>=1){a[k]=a[k]+1;while(a[k]<n)if(Check(k,n)<=n)break;else a[k]=a[k]+1;if(a[k]<=n&&k==n-1){for(i=0; i<n; i++)cout<<a[i]<<"";return;}if(a[k]<=n&&k<n-1)k=k+1;else{a[k]=0;k=k-1;}}
}int Check(int k,int n)
{int flag=0;for(int i=0; i<k; i++)if(a[i]==a[k])return 0;flag=Prime(a[k]+a[k-1]);if(flag==1&&k==n-1)flag=Prime(a[k]+a[0]);return flag;
}int Prime(int x)
{int i,n;n=(int)sqrt(x);for(i=2;i<=n;i++)if(x%i==0)return 0;return 1;
}
第九章 分支限界法
分支限界法经典算法问题：
- 多段图最短路径问题
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