矩阵连乘实验报告

华北电力大学科技学院

实 验 报 告

实验名称 矩阵连乘问题

课程名称 计算机算法设计与分析

专业班级：软件12K1 学生姓名：吴旭

学 号：121909020124 成 绩：

指导老师：刘老师 实验日期：2014.11.14

实验内容

矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,An。

主要思想

由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为：

单个矩阵是完全加括号的；

矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。

运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行

分析最优解的结构

设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，1≤k≤n,则其相应的完全加括号方式为((A1…Ak)(Ak+1…An))。依此次序，先计算A[1:k]和

建立递归关系

设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需的最少数乘次数为

当i=j时，A[i:j]=Ai为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。

当i

计算最优值

根据计算m[i][j]的递归式，容易写一个递归算法计算m[1][n]。动态规划法解决此问题，可依据递归式以自底向上的方式进行计算，在计算过程中保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法matrixChain。(见实验代码部分)

构造最优解

算法matrixChain只计算出最优值，并没有给出最优解。但是matrixChain已经记录了构造最优解所需的全部信息。S[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，最优加括号方式为(A[i:k])(A[k+1:j])。依次构造最优解。(算法见实验代码部分)

实验结果

结果验证

对实验结果进行验证，4个矩阵分别是A1[35*15]，A2[15*5]，A3[5*10]，A4[10*20]。依递归式有：

M[1][4]=min0+2500+35

=7125

且k=3。

计算结果正确，证明所编写的程序可正确算出最优解。

实验代码

#include

#define N 100//定义最大连乘的矩阵个数是100

void matrixChain(int p[],int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])/*用m[i][j]二维数组来存储Ai*.....Aj的最少数乘次数，

用s[i][j]来存储使Ai.....Aj获得最少数乘次数对应的断开位置k，需要注意的是此处的N+1非常关键，虽然只用到的行列下标只从1到N，

但是下标0对应的元素默认也属于该数组，所以数组的长度就应该为N+1*/

{

int n=N;//定义m,s数组的都是n*n的，不用行列下标为0的元素，但包括在该数组中

for(int i=1;i<=n;i++)

m[i][i]=0;/*将矩阵m的对角线位置上元素全部置0，此时应是r=1的情况，表示先计算第一层对角线上个元素的值*/

for(int r=2;r<=n;r++)//r表示斜对角线的层数，从2取到n

{

for(int i=1;i<=n-r+1;i++)//i表示计算第r层斜对角线上第i行元素的值

{

int j=i+r-1;//j表示当斜对角线层数为r，行下标为i时的列下标

m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//计算当断开位置为i时对应的数乘次数

s[i][j]=i;//断开位置为i

for (int k=i