高等数学（第七版）同济大学习题8-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题8-1

1.设u=a−b+2c,v=−a+3b−c.试用a、b、c表示2u−3v.\begin{aligned}&1. \ 设u=a-b+2c,\ v=-a+3b-c.\ 试用a、b、c表示2u-3v.&\end{aligned}1. 设u=a−b+2c, v=−a+3b−c. 试用a、b、c表示2u−3v.

解：

2u−3v=2×(a−b+2c)−3×(−a+3b−c)=2a−2b+4c+3a−9b+3c=5a−11b+7c\begin{aligned} &\ \ 2u-3v=2\times(a-b+2c)-3\times(-a+3b-c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-11b+7c & \end{aligned} 2u−3v=2×(a−b+2c)−3×(−a+3b−c)=2a−2b+4c+3a−9b+3c=5a−11b+7c

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.\begin{aligned}&2. \ 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.&\end{aligned}2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.

解：

如图8−1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知AM→=MC→，DM→=MB→。所以AB→=AM→+MB→=MC→+DM→=DC→.即AB→//DC→且∣AB→∣=∣DC→∣，因此四边形ABCD是平行四边形.\begin{aligned} &\ \ 如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}，\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MB}。\\\\ &\ \ 所以\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}.即\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}且|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|，因此四边形ABCD是平行四边形. & \end{aligned} 如图8−1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知AM=MC，DM=MB。所以AB=AM+MB=MC+DM=DC.即AB//DC且∣AB∣=∣DC∣，因此四边形ABCD是平行四边形.

3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1、D2、D3、D4，再把各分点与点A连接.试以AB→=c、BC→=a表示向量D1A→、D2A→、D3A→和D4A→.\begin{aligned}&3. \ 把\triangle ABC的BC边五等分，设分点依次为D_1、D_2、D_3、D_4，再把各分点与点A连接.\\\\&\ \ \ \ 试以\overrightarrow{AB}=c、\overrightarrow{BC}=a表示向量\overrightarrow{D_1 A}、\overrightarrow{D_2 A}、\overrightarrow{D_3 A}和\overrightarrow{D_4 A}.&\end{aligned}3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1、D2、D3、D4，再把各分点与点A连接. 试以AB=c、BC=a表示向量D1A、D2A、D3A和D4A.

解：

如图8−2，BD1→=D1D2→=D2D3→=D3D4→=15a，所以D1A→=−(AB→+BD1→)=−15a−c，D2A→=−(AB→+BD2→)=−25a−c，D3A→=−(AB→+BD3→)=−35a−c，D4A→=−(AB→+BD4→)=−45a−c.\begin{aligned} &\ \ 如图8-2，\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{D_1D_2}=\overrightarrow{D_2D_3}=\overrightarrow{D_3D_4}=\frac{1}{5}a，\\\\ &\ \ 所以\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_1A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_1})=-\frac{1}{5}a-c，\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_2 A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_2})=-\frac{2}{5}a-c，\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_3 A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_3})=-\frac{3}{5}a-c，\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_4 A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_4})=-\frac{4}{5}a-c. & \end{aligned} 如图8−2，BD1=D1D2=D2D3=D3D4=51a，所以 D1A=−(AB+BD1)=−51a−c， D2A=−(AB+BD2)=−52a−c， D3A=−(AB+BD3)=−53a−c， D4A=−(AB+BD4)=−54a−c.

4.已知两点M1(0,1,2)和M2(1,−1,0).试用坐标表示式表示向量M1M2→及−2M1M2→.\begin{aligned}&4. \ 已知两点M_1(0, \ 1, \ 2)和M_2(1, \ -1, \ 0).试用坐标表示式表示向量\overrightarrow{M_1M_2}及-2\overrightarrow{M_1M_2}.&\end{aligned}4. 已知两点M1(0, 1, 2)和M2(1, −1, 0).试用坐标表示式表示向量M1M2及−2M1M2.

解：

M1M2→=M2−M1=(1−0,−1−1,0−2)=(1,−2,−2)−2M1M2→=(−2×1,−2×−2,−2×−2)=(−2,4,4)\begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{M_1M_2}=M_2-M_1=(1-0, \ -1-1, \ 0-2)=(1, \ -2, \ -2)\\\\ &\ \ -2\overrightarrow{M_1M_2}=(-2\times1, \ -2\times-2, \ -2\times-2)=(-2, \ 4, \ 4) & \end{aligned} M1M2=M2−M1=(1−0, −1−1, 0−2)=(1, −2, −2) −2M1M2=(−2×1, −2×−2, −2×−2)=(−2, 4, 4)

5.求平行于向量a=(6,7,−6)的单位向量.\begin{aligned}&5. \ 求平行于向量a=(6, \ 7, \ -6)的单位向量.&\end{aligned}5. 求平行于向量a=(6, 7, −6)的单位向量.

解：

∣a∣=62+72+(−6)2=11，ea=±a∣a∣=±111(6,7,−6)\begin{aligned} &\ \ |a|=\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}=11，e_a=\pm \frac{a}{|a|}=\pm \frac{1}{11}(6, \ 7, \ -6) & \end{aligned} ∣a∣=62+72+(−6)2=11，ea=±∣a∣a=±111(6, 7, −6)

6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,−2,3)，B(2,3,−4)，C(2,−3,−4)，D(−2,−3,1).\begin{aligned}&6. \ 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1, \ -2, \ 3)，B(2, \ 3, \ -4)，C(2, \ -3, \ -4)，\\\\&\ \ \ \ D(-2, \ -3, \ 1).&\end{aligned}6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1, −2, 3)，B(2, 3, −4)，C(2, −3, −4)， D(−2, −3, 1).

解：

A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限\begin{aligned} &\ \ A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限 & \end{aligned} A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限

7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3,4,0)，B(0,4,3)，C(3,0,0)，D(0,−1,0).\begin{aligned}&7. \ 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3, \ 4, \ 0)，B(0, \ 4, \ 3)，\\\\&\ \ \ \ C(3, \ 0, \ 0)，D(0,\ -1, \ 0).&\end{aligned}7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3, 4, 0)，B(0, 4, 3)， C(3, 0, 0)，D(0, −1, 0).

解：

xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0，x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。\begin{aligned} &\ \ xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0，\\\\ &\ \ x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。\\\\ &\ \ A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。 & \end{aligned} xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0， x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。 A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。

8.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.\begin{aligned}&8. \ 求点(a, \ b, \ c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.&\end{aligned}8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.

解：

(1)点(a,b,c)关于xOy面对称的点的坐标为(a,b,−c)，关于yOz面对称的点的坐标为(−a,b,c)，关于xOz面对称的点的坐标为(a,−b,c)(2)点(a,b,c)关于x轴对称的点的坐标为(a,−b,−c)，关于y轴对称的点的坐标为(−a,b,−c)，关于z轴对称的点的坐标为(−a,−b,c)(3)点(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(−a,−b,−c)\begin{aligned} &\ \ (1)\ 点(a, \ b, \ c)关于xOy面对称的点的坐标为(a, \ b, \ -c)，关于yOz面对称的点的坐标为(-a, \ b, \ c)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 关于xOz面对称的点的坐标为(a, \ -b, \ c)\\\\ &\ \ (2)\ 点(a, \ b, \ c)关于x轴对称的点的坐标为(a, \ -b, \ -c)，关于y轴对称的点的坐标为(-a, \ b, \ -c)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 关于z轴对称的点的坐标为(-a, \ -b, \ c)\\\\ &\ \ (3)\ 点(a, \ b, \ c)关于原点的对称点的坐标为(-a, \ -b, \ -c) \end{aligned} (1) 点(a, b, c)关于xOy面对称的点的坐标为(a, b, −c)，关于yOz面对称的点的坐标为(−a, b, c)，关于xOz面对称的点的坐标为(a, −b, c) (2) 点(a, b, c)关于x轴对称的点的坐标为(a, −b, −c)，关于y轴对称的点的坐标为(−a, b, −c)，关于z轴对称的点的坐标为(−a, −b, c) (3) 点(a, b, c)关于原点的对称点的坐标为(−a, −b, −c)

9.自点P0(x0,y0,z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.\begin{aligned}&9. \ 自点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.&\end{aligned}9. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.

解：

点P0(x0,y0,z0)在xOy面的垂足的坐标为(x0,y0,0)，在yOz面的垂足的坐标为(0,y0,z0)，在xOz面的垂足的坐标为(x0,0,z0).点P0(x0,y0,z0)在x轴的垂足的坐标为(x0,0,0)，在y轴的垂足的坐标为(0,y0,0)，在z轴的垂足的坐标为(0,0,z0)\begin{aligned} &\ \ 点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)在xOy面的垂足的坐标为(x_0, \ y_0, \ 0)，在yOz面的垂足的坐标为(0, \ y_0, \ z_0)，\\\\ &\ \ 在xOz面的垂足的坐标为(x_0, \ 0, \ z_0).\\\\ &\ \ 点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)在x轴的垂足的坐标为(x_0, \ 0, \ 0)，在y轴的垂足的坐标为(0, \ y_0, \ 0)，\\\\ &\ \ 在z轴的垂足的坐标为(0, \ 0,\ z_0) & \end{aligned} 点P0(x0, y0, z0)在xOy面的垂足的坐标为(x0, y0, 0)，在yOz面的垂足的坐标为(0, y0, z0)，在xOz面的垂足的坐标为(x0, 0, z0). 点P0(x0, y0, z0)在x轴的垂足的坐标为(x0, 0, 0)，在y轴的垂足的坐标为(0, y0, 0)，在z轴的垂足的坐标为(0, 0, z0)

10.过点P0(x0,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？\begin{aligned}&10. \ 过点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的\\\\&\ \ \ \ \ \ 点的坐标各有什么特点？&\end{aligned}10. 过点P0(x0, y0, z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

解：

平行于z轴的直线上的点的坐标x0值和y0值不变，z0值变化。平行于xOy面的平面上的点的坐标z0值不变，x0值和y0值变化。\begin{aligned} &\ \ 平行于z轴的直线上的点的坐标x_0值和y_0值不变，z_0值变化。\\\\ &\ \ 平行于xOy面的平面上的点的坐标z_0值不变，x_0值和y_0值变化。 & \end{aligned} 平行于z轴的直线上的点的坐标x0值和y0值不变，z0值变化。平行于xOy面的平面上的点的坐标z0值不变，x0值和y0值变化。

11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.\begin{aligned}&11. \ 一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，\\\\&\ \ \ \ \ \ 求它各顶点的坐标.&\end{aligned}11. 一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.

解：

如图8−5，已知AB=a，所以OA=OB=22a，各顶点坐标为A(22a,0,0)，B(0,22a,0)，C(−22a,0,0)，D(0,−22a,0)，E(22a,0,a)，F(0,22a,a)，G(−22a,0,a)，H(0,−22a,a)\begin{aligned} &\ \ 如图8-5，已知AB=a，所以OA=OB=\frac{\sqrt{2}}{2}a，各顶点坐标为A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ 0\right)，B\left(0, \ \frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0\right)，\\\\ &\ \ C\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ 0\right)，D\left(0, \ -\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0\right)，E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ a\right)，F\left(0, \ \frac{\sqrt{2}}{2}a, \ a\right)，G\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ a\right)，\\\\ &\ \ H\left(0, \ -\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ a \right) & \end{aligned} 如图8−5，已知AB=a，所以OA=OB=22a，各顶点坐标为A(22a, 0, 0)，B(0, 22a, 0)， C(−22a, 0, 0)，D(0, −22a, 0)，E(22a, 0, a)，F(0, 22a, a)，G(−22a, 0, a)， H(0, −22a, a)

12.求点M(4,−3,5)到各坐标轴的距离.\begin{aligned}&12. \ 求点M(4, \ -3, \ 5)到各坐标轴的距离.&\end{aligned}12. 求点M(4, −3, 5)到各坐标轴的距离.

解：

点M是在第四卦限，到x轴的距离为y2+z2=(−3)2+52=34，到y轴的距离为x2+z2=42+52=41，到z轴的距离为x2+y2=42+(−3)2=5.\begin{aligned} &\ \ 点M是在第四卦限，到x轴的距离为\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\sqrt{34}，\\\\ &\ \ 到y轴的距离为\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}，到z轴的距离为\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5. & \end{aligned} 点M是在第四卦限，到x轴的距离为y2+z2=(−3)2+52=34，到y轴的距离为x2+z2=42+52=41，到z轴的距离为x2+y2=42+(−3)2=5.

13.在yOz面上，求与三点A(3,1,2)，B(4,−2,−2)，C(0,5,1)等距离的点.\begin{aligned}&13. \ 在yOz面上，求与三点A(3, \ 1, \ 2)，B(4, \ -2, \ -2)，C(0, \ 5, \ 1)等距离的点.&\end{aligned}13. 在yOz面上，求与三点A(3, 1, 2)，B(4, −2, −2)，C(0, 5, 1)等距离的点.

解：

设点P(0,y,z)在yOz面上，则∣PA∣=32+(1−y)2+(2−z)2，∣PB∣=(42+(−2−y)2+(−2−z)2，∣PC∣=02+(5−y)2+(1−z)2，∣PA∣=∣PB∣=∣PC∣，则{32+(1−y)2+(2−z)2=(42+(−2−y)2+(−2−z)2(42+(−2−y)2+(−2−z)2=02+(5−y)2+(1−z)2，解得，y=1，z=−2，点P的坐标为(0,1,−2).\begin{aligned} &\ \ 设点P(0, \ y, \ z)在yOz面上，则|PA|=\sqrt{3^2+(1-y)^2+(2-z)^2}，|PB|=\sqrt{(4^2+(-2-y)^2+(-2-z)^2}，\\\\ &\ \ |PC|=\sqrt{0^2+(5-y)^2+(1-z)^2}，|PA|=|PB|=|PC|，则\\\\ &\ \ \begin{cases}3^2+(1-y)^2+(2-z)^2=(4^2+(-2-y)^2+(-2-z)^2\\\\(4^2+(-2-y)^2+(-2-z)^2=0^2+(5-y)^2+(1-z)^2\end{cases}，解得，y=1，z=-2，点P的坐标为(0, \ 1, \ -2). & \end{aligned} 设点P(0, y, z)在yOz面上，则∣PA∣=32+(1−y)2+(2−z)2，∣PB∣=(42+(−2−y)2+(−2−z)2， ∣PC∣=02+(5−y)2+(1−z)2，∣PA∣=∣PB∣=∣PC∣，则 ⎩⎨⎧32+(1−y)2+(2−z)2=(42+(−2−y)2+(−2−z)2(42+(−2−y)2+(−2−z)2=02+(5−y)2+(1−z)2，解得，y=1，z=−2，点P的坐标为(0, 1, −2).

14.试证明以三点A(4,1,9)，B(10,−1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.\begin{aligned}&14. \ 试证明以三点A(4, \ 1, \ 9)，B(10, \ -1, \ 6)，C(2, \ 4, \ 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.&\end{aligned}14. 试证明以三点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.

解：

∣AB∣=(10−4)2+(−1−1)2+(6−9)2=7，∣BC∣=(2−10)2+(4+1)2+(3−6)2=72，∣AC∣=(2−4)2+(4−1)2+(3−9)2=7，∣AB∣=∣AC∣，又因∣AB∣2+∣AC∣2=∣BC∣2，所以该三角形为等腰直角三角形\begin{aligned} &\ \ |AB|=\sqrt{(10-4)^2+(-1-1)^2+(6-9)^2}=7，|BC|=\sqrt{(2-10)^2+(4+1)^2+(3-6)^2}=7\sqrt{2}，\\\\ &\ \ |AC|=\sqrt{(2-4)^2+(4-1)^2+(3-9)^2}=7，|AB|=|AC|，又因|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2，\\\\ &\ \ 所以该三角形为等腰直角三角形 & \end{aligned} ∣AB∣=(10−4)2+(−1−1)2+(6−9)2=7，∣BC∣=(2−10)2+(4+1)2+(3−6)2=72， ∣AC∣=(2−4)2+(4−1)2+(3−9)2=7，∣AB∣=∣AC∣，又因∣AB∣2+∣AC∣2=∣BC∣2，所以该三角形为等腰直角三角形

15.设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2→的模、方向余弦和方向角.\begin{aligned}&15. \ 设已知两点M_1(4, \ \sqrt{2}, \ 1)和M_2(3, \ 0, \ 2)，计算向量\overrightarrow{M_1M_2}的模、方向余弦和方向角.&\end{aligned}15. 设已知两点M1(4, 2, 1)和M2(3, 0, 2)，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

解：

M1M2→=(3−4,0−2,2−1)=(−1,−2,1)，模为∣M1M2→∣=(−1)2+(−2)2+12=2，方向余弦分别为cosα=−12，cosβ=−22，cosγ=12，方向角分别为α=23π，β=34π，γ=13π.\begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{M_1M_2}=(3-4, \ 0-\sqrt{2}, \ 2-1)=(-1, \ -\sqrt{2}, \ 1)，模为|\overrightarrow{M_1M_2}|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{2})^2+1^2}=2，\\\\ &\ \ 方向余弦分别为cos\ \alpha=-\frac{1}{2}，cos\ \beta=-\frac{\sqrt{2}}{2}，cos\ \gamma=\frac{1}{2}，方向角分别为\alpha=\frac{2}{3}\pi，\beta=\frac{3}{4}\pi，\gamma=\frac{1}{3}\pi. & \end{aligned} M1M2=(3−4, 0−2, 2−1)=(−1, −2, 1)，模为∣M1M2∣=(−1)2+(−2)2+12=2，方向余弦分别为cos α=−21，cos β=−22，cos γ=21，方向角分别为α=32π，β=43π，γ=31π.

16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosα=0；(2)cosβ=1；(3)cosα=cosβ=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？\begin{aligned}&16. \ 设向量的方向余弦分别满足(1)cos\ \alpha=0；(2)cos\ \beta=1；(3)cos\ \alpha=cos\ \beta=0，问这些向量与坐标轴\\\\&\ \ \ \ \ \ 或坐标面的关系如何？&\end{aligned}16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0；(2)cos β=1；(3)cos α=cos β=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解：

(1)cosα=0，则α=π2，所以向量与x轴垂直，平行yOz面(2)cosβ=1，则β=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面(3)cosα=cosβ=0，则α=β=π2，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面\begin{aligned} &\ \ (1)\ cos\ \alpha=0，则\alpha=\frac{\pi}{2}，所以向量与x轴垂直，平行yOz面\\\\ &\ \ (2)\ cos\ \beta=1，则\beta=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面\\\\ &\ \ (3)\ cos\ \alpha=cos\ \beta=0，则\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面 & \end{aligned} (1) cos α=0，则α=2π，所以向量与x轴垂直，平行yOz面 (2) cos β=1，则β=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面 (3) cos α=cos β=0，则α=β=2π，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面

17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角是π3，求r在u轴上的投影.\begin{aligned}&17. \ 设向量r的模是4，它与u轴的夹角是\frac{\pi}{3}，求r在u轴上的投影.&\end{aligned}17. 设向量r的模是4，它与u轴的夹角是3π，求r在u轴上的投影.

解：

设向量r与u轴的夹角为φ=π3，cosφ=12，已知∣r∣=4，则Prjur=∣r∣cosφ=2.\begin{aligned} &\ \ 设向量r与u轴的夹角为\varphi=\frac{\pi}{3}，cos\ \varphi=\frac{1}{2}，已知|r|=4，则Prj_ur=|r|cos\ \varphi=2. & \end{aligned} 设向量r与u轴的夹角为φ=3π，cos φ=21，已知∣r∣=4，则Prjur=∣r∣cos φ=2.

18.一向量的终点在点B(2,−1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，−4，和7.求这向量的起点A的坐标.\begin{aligned}&18. \ 一向量的终点在点B(2, \ -1, \ 7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4，和7.\\\\&\ \ \ \ \ \ 求这向量的起点A的坐标.&\end{aligned}18. 一向量的终点在点B(2, −1, 7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，−4，和7. 求这向量的起点A的坐标.

解：

设点A的坐标为(x,y,z)，则AB→=(2−x,−1−y,7−z)，根据题意可知2−x=4，−1−y=−4，7−z=7，则x=−2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(−2,3,0).\begin{aligned} &\ \ 设点A的坐标为(x, \ y, \ z)，则\overrightarrow{AB}=(2-x, \ -1-y, \ 7-z)，根据题意可知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，\\\\ &\ \ 则x=-2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(-2, \ 3, \ 0). & \end{aligned} 设点A的坐标为(x, y, z)，则AB=(2−x, −1−y, 7−z)，根据题意可知2−x=4，−1−y=−4，7−z=7，则x=−2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(−2, 3, 0).

19.设m=3i+5j+8k，n=2i−4j−7k和p=5i+j−4k，求向量a=4m+3n−p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.\begin{aligned}&19. \ 设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影\\\\&\ \ \ \ \ \ 及在y轴上的分向量.&\end{aligned}19. 设m=3i+5j+8k，n=2i−4j−7k和p=5i+j−4k，求向量a=4m+3n−p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：

向量a=4m+3n−p=4×(3i+5j+8k)+3×(2i−4j−7k)−(5i+j−4k)=12i+20j+32k+6i−12j−21k−5i−j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.\begin{aligned} &\ \ 向量a=4m+3n-p=4\times(3i+5j+8k)+3\times(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=\\\\ &\ \ 12i+20j+32k+6i-12j-21k-5i-j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j. & \end{aligned} 向量a=4m+3n−p=4×(3i+5j+8k)+3×(2i−4j−7k)−(5i+j−4k)= 12i+20j+32k+6i−12j−21k−5i−j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.