函数的可积条件

函数可积的必要条件

\quad在给出函数可积的充要条件之前，先来看函数可积的一个必要条件。

定理 1（可积的必要条件）：若函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上必定有界。

证明：反证法。
\quad假定函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上无界，则不论对 [a,b][a,b][a,b] 作何种划分，总存在 [a,b][a,b][a,b] 的某个小区间 [xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]（1≤k≤n1 \le k \le n1≤k≤n），使得 f(x)f(x)f(x) 在 [xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk] 上无界。
\quad在 i≠ki \ne ki=k 的各个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_{i}][xi−1,xi] 上，任取一点 ξi\xi_iξi，并记
G=∣∑i≠kf(ξi)⋅Δxi∣,G=\left|\sum_{i \ne k}f(\xi_i)\cdot \Delta x_i\right|, G=∣∣∣∣∣∣i=k∑f(ξi)⋅Δxi∣∣∣∣∣∣,
由于 f(x)f(x)f(x) 在 [xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk] 上无界，因此对于任意给定的 M>0M>0M>0，存在点 ξk∈[xk−1,xk]\xi_k \in[x_{k-1},x_k]ξk∈[xk−1,xk]，使得
∣f(ξk)∣>G+MΔxk.\left|f(\xi_k)\right|>\frac{G+M}{\Delta x_k}. ∣f(ξk)∣>ΔxkG+M.
\quad利用三角不等式，可得
∣f(ξk)⋅Δxk∣−∣∑i≠kf(ξi)⋅Δxi∣≤∣∑i=1nf(ξi)Δxi∣\left|f(\xi_k) \cdot \Delta x_k\right|-\left|\sum_{i \ne k}f(\xi_i)\cdot \Delta x_i\right|\le \left|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_{i}\right| ∣f(ξk)⋅Δxk∣−∣∣∣∣∣∣i=k∑f(ξi)⋅Δxi∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣∣∣∣∣
从而
∣∑i=1nf(ξi)Δxi∣≥G+MΔxk⋅Δxk−G=M.\left|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_{i}\right| \ge \frac{G+M}{\Delta x_k} \cdot \Delta x_k-G=M. ∣∣∣∣∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣∣∣∣∣≥ΔxkG+M⋅Δxk−G=M.
也就是说，无论 MMM 取得有多大，总存在某个划分 PPP 和点集 {ξi∣i=1,2,⋯,n}\{\xi_i|i=1,2,\cdots,n\}{ξi∣i=1,2,⋯,n} 的某种取法，使得积分和大于 MMM，从而与 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积产生矛盾。因此，f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上必定有界。

证毕

思考：既然区间 [a,b][a,b][a,b] 上的可积函数一定有界，那么，有界函数一定在区间 [a,b][a,b][a,b] 上可积吗？
答：不一定。

【例题】：Dirichlet 函数
D(x)={1,x为有理数,0,x为无理数D(x)= \begin{cases} 1,\quad x\text{为有理数}, \\ 0,\quad x \text{为无理数} \end{cases} D(x)={1,x为有理数,0,x为无理数
在区间 [0,1][0,1][0,1] 上有界，但不可积。

函数可积的充要条件

\quad既然，区间 [a,b][a,b][a,b] 上的可积函数都是有界的，而有界的函数又不一定可积，那么什么情况下，区间 [a,b][a,b][a,b] 上的有界函数可积呢？

\quad下面来讨论函数可积的充要条件。

Darboux 和：

\quad设函数 f(x)f(x)f(x) 是区间 [a,b][a,b][a,b] 上的有界函数。由确界存在定理知，f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上必有上、下确界。记：
M=sup⁡x∈[a,b]f(x),m=sup⁡x∈[a,b]f(x)，M=\underset{x \in [a,b]}{\sup} f(x),\quad m= \underset{x \in [a,b]}{\sup}f(x)， M=x∈[a,b]supf(x),m=x∈[a,b]supf(x)，
则
m≤f(x)≤M,x∈[a,b].m \le f(x) \le M,\quad x \in [a,b]. m≤f(x)≤M,x∈[a,b].

\quad在 [a,b][a,b][a,b] 上任意取分点 {xi}i=0n\{x_i\}_{i=0}^{n}{xi}i=0n，作成一种划分
P:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,P:a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b, P:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,
并任意取点 ξ∈[xi−1,xi]\xi \in [x_{i-1},x_i]ξ∈[xi−1,xi]，i=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n。由于 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有界，因此 f(x)f(x)f(x) 在任意一个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1,xi]（i=0,1,⋯,ni=0,1,\cdots,ni=0,1,⋯,n）上也是有界的。由确界存在定理，f(x)f(x)f(x) 在每个小区间上均有上、下确界。

\quad记 f(x)f(x)f(x) 在小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1,xi] 上的上、下确界分别为
Mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x),mi=inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x),M_i=\underset{x \in [x_{i-1},x_i]}{\sup} f(x),\quad m_i=\underset{x \in [x_{i-1},x_i]}{\inf} f(x), Mi=x∈[xi−1,xi]supf(x),mi=x∈[xi−1,xi]inff(x),
显然，它们与点集 {ξi∣i=1,2,⋯,n}\{\xi_i\mid i=1,2,\cdots,n\}{ξi∣i=1,2,⋯,n} 的取法无关，但与划分 PPP 有关。

\quad对于确定的划分 PPP，定义和式
Sˉ(P)=∑i=1nMi⋅Δxi,S‾(P)=∑i=1nmi⋅Δxi,\bar S(P)=\sum_{i=1}^{n}M_i\cdot \Delta x_i,\quad \underline{S}(P)=\sum_{i=1}^{n}m_i\cdot \Delta x_i, Sˉ(P)=i=1∑nMi⋅Δxi,S(P)=i=1∑nmi⋅Δxi,
则分别称 Sˉ(P)\bar S(P)Sˉ(P) 与 S‾(P)\underline {S}(P)S(P) 为相应于划分 PPP 的 Darboux 大和（或 Darboux 上和）与 Darboux 小和（或 Darboux 下和）。

\quadDarboux 大和与 Darboux 小和统称为 Darboux 和。

\quad显然，对于同一个划分 PPP，成立
S‾(P)≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤Sˉ(P).\underline{S}(P) \le \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i \le \bar S(P). S(P)≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤Sˉ(P).

\quad为方便讨论，记 Sˉ\bar SSˉ 是一切可能的划分所得到的 Darboux 大和的集合，S‾\underline{S}S 是一切可能的划分得到的 Darboux 小和的集合。

\quad下面，来分析 Darboux 和的性质，进而引出函数可积的充分必要条件。

引理 1（性质一）：设 PPP 是 [a,b][a,b][a,b] 上给定的一个划分，对于任意的点集 {ξi∣i=1,2,⋯,n}\{\xi_i\mid i=1,2,\cdots,n\}{ξi∣i=1,2,⋯,n}，Darboux 大和是所有积分和的上确界，Darboux 小和是所有积分和的下确界。
证明：

引理 2（性质二）：若在原有划分 PPP 中加入分点形成新的划分，则 Darboux 大和不增，Darboux 小和不减。

引理 3（性质三）：设 P1P_1P1、P2P_2P2 是 [a,b][a,b][a,b] 的任意两个划分，若将 P1P_1P1、P2P_2P2 的对应分点合并，形成一个新的划分 PPP，则
Sˉ(P)≤Sˉ(P1),Sˉ(P)≤Sˉ(P2)，S‾(P)≥S‾(P1),S‾(P)≥S‾(P2).\bar S(P) \le \bar S(P_1),\bar S(P) \le \bar S(P_2)，\quad\underline{S}(P) \ge \underline{S}(P_1), \underline{S}(P) \ge \underline{S}(P_2). Sˉ(P)≤Sˉ(P1),Sˉ(P)≤Sˉ(P2)，S(P)≥S(P1),S(P)≥S(P2).

引理 4（性质四）：设 P1P_1P1、P2P_2P2 是 [a,b][a,b][a,b] 的任意两个划分，则恒有
m(b−a)<S‾(P1)≤Sˉ(P2)≤M(b−a).m(b-a)<\underline{S}(P_1) \le \bar S(P_2) \le M(b-a). m(b−a)<S(P1)≤Sˉ(P2)≤M(b−a).

\quad由上述讨论知，Sˉ\bar SSˉ 与 S‾\underline{S}S 都是有界集合，由确界定理，均有上、下确界。记
L=inf⁡{Sˉ(P)∣Sˉ(P)∈Sˉ},l=sup⁡{S‾(P)∣S‾(P)∈S‾}.L=\inf\{\bar S(P)\mid \bar S(P) \in \bar S\},\quad l=\sup \{\underline {S}(P)\mid \underline {S}(P) \in \underline S\}. L=inf{Sˉ(P)∣Sˉ(P)∈Sˉ},l=sup{S(P)∣S(P)∈S}.
通常，称 LLL 为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上的上积分，称 lll 为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上的下积分。

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 谢惠民，恢自求，易法槐等. 数学分析习题课讲义上册. 北京：高等教育出版社. 2003.7.10.
[4] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程上册. 第3版. 合肥：中国科学技术大学出版社. 2012.8.
[5] B. A. 卓里奇. 数学分析第一卷. 第7版. 北京：高等教育出版社.2019.2.

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