数学分析 函数极限的四则运算与复合函数的性质
函数极限的四则运算
若 ∃A,B∈R,limf(x)=A,limg(x)=B,\exists A, B \in R, \lim f(x) = A, \lim g(x) = B, 则
1) limf(x)+g(x)=A+B \lim f(x) + g(x) = A + B
2) limf(x)⋅g(x)=A⋅B \lim f(x) %� k�:��]�l� k�:���Ccdot B
3) limf(x)g(x)=AB(B≠0) \lim \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { A } { B } (B \neq 0)
证明
下面只证明 limx→x0 \lim \limits_{x \to x_0 } 情况下的正确性， limx→+∞,limx→−∞,limx→∞ \lim \limits_{x \to + \infty }, \lim \limits_{x \to - \infty }, \lim \limits_{x \to \infty } 情况下的证明与之相似。
∀ε>0,∃δ>0,∀x∈U˚(x0,δ),|f(x)−A|<ε,|g(x)−B|<ε.\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring {U} (x_0, \delta), |f(x) - A|
1) ∀x∈U˚(x0,δ),|(f(x)+g(x))−(A+B)| \forall x \in \mathring {U} (x_0, \delta), |(f(x) + g(x)) - (A + B)|
=|(f(x)−A)+(g(x)−B)|= |(f(x) - A) + (g(x) - B)|
≤|f(x)−A|+|g(x)−B|\le |f(x) - A| + |g(x) - B|
<ε+ε\lt \varepsilon + \varepsilon
=2ε = 2 \varepsilon
2) ∃M>0,∃η>0,∀x∈U˚(x0,η),|f(x)|<M.\exists M > 0, \exists \eta> 0, \forall x \in \mathring {U} (x_0, \eta), |f(x)|
∀x∈U˚(x0,min(δ,η)),|f(x)⋅g(x)−A⋅B| \forall x \in \mathring {U} (x_0, \operatorname {min} (\delta, \eta)), |f(x) \cdot g(x) - A \cdot B|
=|(f|+|A)g(x)+A⋅g(x)−A⋅B|= |(f(x) - A) g(x) + A \cdot g(x) - A \cdot B|
=|(f(x)−A)g(x)+A⋅(g(x)−B)|= |(f(x) - A) g(x) + A \cdot (g(x) - B)|
≤|(f(x)−A)g(x)|+|A⋅(g(x)−B)|\le |(f(x) - A) g(x)| + |A \cdot (g(x) - B)|
≤Mε+|A|ε\le M \varepsilon + |A| \varepsilon
=(M+|A|)ε= (M + |A|) \varepsilon
3) ∃m>0,∃η>0,∀x∈U˚(x0,η),|g(x)|>m.\exists m > 0, \exists \eta> 0, \forall x \in \mathring {U} (x_0, \eta), |g(x)|> m.
∀x∈U˚(x0,min(δ,η)),|f(x)g(x)−AB| \forall x \in \mathring {U} (x_0, \operatorname {min} (\delta, \eta)), |\frac { f(x) } { g(x) } - \frac { A } { B }|
=|Bf(x)−Ag(x)Bg(x)|= |\frac { Bf(x) - Ag(x) } { Bg(x) }|
=1|B|⋅1|g(x)|⋅|B(f(x)−A)−A(g(x)−B)|= \frac {1}{|B|} \cdot \frac {1}{|g(x)|} \cdot |B (f(x) - A) - A(g(x) - B)|
≤1|B|⋅1|g(x)|⋅(|B(f(x)−A)|+|A(g(x)−B)|)\le \frac {1}{|B|} \cdot \frac {1}{|g(x)|} \cdot (|B (f(x) - A)| + |A(g(x) - B)|)
≤1|B|⋅1m⋅(|B|ε+|A|ε)\le \frac {1}{|B|} \cdot \frac {1}{m} \cdot (|B| \varepsilon + |A| \varepsilon)
=|A|+|B||Bm|⋅ε= \frac {|A| + |B|}{|Bm|} \cdot \varepsilon
复合函数极限的性质
若 ∃x0,y0,A∈R,limx→x0g(x)=y0,limy→y0f(y)=A,⇒∀%3x-Span-817" style="width: 17.069em; display: inline-block;">∃ζ>0,∀x∈U˚(x0,ζ),g(x)≠y0,\exists \zeta > 0, \forall x \in \mathring {U} (x_0, \zeta), g(x) \neq y_0,
2) f(y0)=Af(y_0) = A
则 limx→x0(f∘g)(x)=A\lim \limits_{x \to x_0 } (f \circ g)(x) = A
证明：
∀ε>0,∃η>0,∀y∈U˚(y0,η),|f(y)−A|<ε\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y \in \mathring {U} (y_0, \eta), |f(y) - A|
1) ∃δ∈(0,ζ),∀x∈U˚(x0,δ),|g(x)−y0|<η\exists \delta \in (0, \zeta), \forall x \in \mathring {U} (x_0, \delta), |g(x) - y_0|
∀x∈U˚(x0,ζ),g(x)≠y0\forall x \in \mathring {U} (x_0, \zeta), g(x) \neq y_0
⇒∀x∈U˚(x0,δ),0<|g(x)−y0|<η\Rightarrow \forall x \in \mathring {U} (x_0, \delta), 0
⇒g(x)∈U˚(y0,η)⇒|f[g(x)]−A|<ε\Rightarrow g(x) \in \mathring {U} (y_0, \eta) \Rightarrow |f[g(x)] - A|
⇒|(f∘g)(x)−A|<ε\Rightarrow |(f \circ g)(x) - A|
⇒limx→x0(f∘g)(x)=A \Rightarrow \lim \limits_{x \to x_0 } (f \circ g)(x) = A
2) ∃δ>0,∀x∈U˚(x0,δ),|g(x)−y0|<η⇒g(x)=y0\exists \delta > 0, \forall x \in \mathring {U} (x_0, \delta), |g(x) - y_0| 或 0<|g(x)−y0|<η 0
2.1) g(x)=y0 g(x) = y_0 时， |f[g(x)]−A|=|f(y0)−A|=0<ε |f [g(x)] - A| = |f (y_0) - A| = 0
2.2) 0<|g(x)−y0|<η 0 时， g(x)∈U˚(y0,η)⇒|f[g(x)]−A|<ε g(x) \in \mathring {U} (y_0, \eta) \Rightarrow |f[g(x)] - A|
2.1), 2.2) ⇒∀x∈U˚(x0,δ),|f[g(x)]−A|<ε,\Rightarrow \forall x \in \mathring {U} (x_0, \delta), |f[g(x)] - A| 同理可得 limx→x0(f∘g)(x)=A\lim \limits_{x \to x_0 } (f \circ g)(x) = A
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