函数(一元实函数)基础

函数(一元实函数)的概念

定义 1(一元实函数)\mathbf{1}(一元实函数)1(一元实函数)：设数集 D,M⊂RD,M \subset \mathbb{R}D,M⊂R，则映射
f:D→Mx↦y=f(x).x∈D,y∈M\begin{aligned} f&:D \rightarrow M \\ x & \mapsto y=f(x).~ x \in D,y \in M \end{aligned} fx:D→M↦y=f(x). x∈D,y∈M
为定义在 DDD 上的 一元实函数，简称 函数。其中：
（1）xxx 称为 自变量，yyy称为 因变量；
（2）数集 DDD 称为 定义域，记作 DfD_fDf；
（3）全体函数值的集合
f(D)={y∣y=(x),x∈Df}⊂Mf(D) = \{y ~ | ~ y=(x),x \in D_f\} \subset M f(D)={y ∣ y=(x),x∈Df}⊂M
\quad \quad 称为函数 fff 的 值域，记作 RfR_fRf。

注 1\mathbf{1}1：由定义1 知，一元实函数描述的一定是两个实数集之间的对应关系，因此常用 R\mathbb{R}R 来代替定义中的 VVV，这样映射法则 fff 和定义域 DfD_fDf 成了确定一元实函数的主要因素。因此常用
y=f(x),x∈Dfy = f(x)~,~x \in D_f y=f(x) , x∈Df
来表示一个一元实函数，读作 “函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)” 或 "函数 fff"。

注 2\mathbf{2}2：按照映射法则 fff，对于任意一个 x∈Dfx \in D_fx∈Df，总有唯一确定的值与之对应，y=f(x)y=f(x)y=f(x) 称为函数 fff 在 xxx 处的 函数值。这种因变量对于自变量的依赖关系称为 函数关系。

符号说明：函数符号并没有严格要求，可以使用小写英文字母 f,g,h,⋯f,g,h,\cdotsf,g,h,⋯，也可以使用大写英文字母 F,G,H,⋯F,G,H,\cdotsF,G,H,⋯，甚至是希腊字母 ϕ,φ,⋯\phi,\varphi,\cdotsϕ,φ,⋯等等。有时候可以直接使用因变量的记号表示函数，例如 y=y(x)y = y(x)y=y(x)。

函数(一元实函数)的表示方法

解析法

图形法

表格法

函数(一元实函数)的四则运算

函数(一元实函数)的复合运算

函数(一元实函数)的逆运算

参考文献

[1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析上第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 周性伟. 实变函数第2版. 北京：高等教育出版社, 2007.01.

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