线性变换
- 直观定义
- 几种基本线性变换与对应的矩阵表示
  - 旋转
  - 翻转镜像
  - 缩放伸缩
  - 推移错切
仿射变换
投影变换
总结

平面变换包括线性变换，仿射变换等，
线性变换包括旋转，镜像(翻转)，伸缩（缩放），推移（错切）
仿射变换 = 线性变换 + 平移

线性变换

直观定义：

变换前是直线变换后仍是直线（平行关系）
直线比例保持不变（比例关系）
变换前是原点的，变换后依然是原点

几种基本线性变换（与对应的矩阵表示）：

旋转

中学数学解释(几何角度)

矩阵表示
一般的线性变换可由2x2的矩阵 A2x2 A_{2x2}表示，此处

但是一般使用齐次矩阵表示（为了统一性，将平移时用到的加法也融入矩阵参数中）

大学数学解释（线性代数角度）
旋转操作可以看作由 R2 R^2映射到 R2 R^2,且可以验证它是线性变换。

数学表示为 T:R2−→−−linearR2 T: R^2 \xrightarrow[]{linear} R^2

而任何线性变换都可以由对应的矩阵表示： [T(v)]γ=[T]γβ[v]β [T(v)]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma}[v]_{\beta} （原向量空间的基底取 β \beta，映射后的向量空间基地为 γ \gamma）

取定好 β,γ {\beta},{\gamma} 之后很容易将 [T]γβ [T]_{\beta}^{\gamma}表示出来

翻转（镜像）

中学数学推导(几何角度)

大学数学解释（线性代数角度）

镜像是 R2 R^2空间上的线性变换（可以验证），在原始空间中找镜像点不是很方便，可以通过坐标变换的手法，将镜像变换转移到镜像直线为轴的坐标系来来求解。提示 T=ITI T = ITI。

缩放（伸缩）

推移（错切？）

小结：

仿射变换

特点：

平行关系不变
比例关系不变

包括：平移 + 旋转镜像缩放推移

平移的矩阵表示：

通用的矩阵表示：

由于仿射变换包含平移，所以需要表达相加。可以用齐次矩阵将加法用矩阵表示出来（也可以认为三维的线性变换可以表达二维的放射变换：三维的推移变换可以表达二维的平移变换）。

投影变换：

总结

ps:

【参考】：
- 99課綱教學重點整理4-3-4矩陣-二階方陣表示的線性變換.pdf
- http://www.matongxue.com/madocs/244.html#/madoc
- http://www.cnblogs.com/houkai/p/6660272.html
- https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/affine.htm GeometricTransformations
- http://nghiaho.com/?p=2208 opencv

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