01 函数

\quad 作为数学分析的第一节课，首先深入了解一下函数。

\quad 翻看一些教材可以发现，有些教材将“函数”与“映射”区分为两个概念，有些教材（尤其是前苏联时期的一些教材）则将其视为一个概念。实际上，“函数”也的确就是“映射”。

\quad 在高中阶段，我们认为函数的概念为：若给定集合 X , Y X,Y X,Y，存在一个对应法则 f f f，使得

∀ x ∈ X , ∃ ! y ∈ Y s . t . y = f ( x ) , \forall ~ x \in X,~\exists ~ !y \in Y \quad s.t.\quad y=f(x), ∀ x∈X, ∃ !y∈Ys.t.y=f(x),
则称 f : X ⟶ Y f:X\longrightarrow Y f:X⟶Y 为函数。简单来说，函数可以是“一对一”，亦可以是“多对一”，但绝不可以是“一对多”！

\quad 步入分析学的领域后，函数的概念需要进行拓广！

函数：若给定集合 X , Y X,Y X,Y，存在一个对应法则 f f f，使得

∀ x ∈ X , ∃ y ∈ Y s . t . y = f ( x ) , \forall ~ x \in X,~\exists ~ y \in Y \quad s.t.\quad y=f(x), ∀ x∈X, ∃ y∈Ys.t.y=f(x),
则称 f : X ⟶ Y f:X\longrightarrow Y f:X⟶Y 为函数。进行拓广后，函数也可以是“一对多”了。

\quad 复变函数就是典型的“一对多”函数。

\quad 设 f : X ⟶ Y f:X\longrightarrow Y f:X⟶Y 为函数，即：
X → f Y ∀ x ∈ X ↦ y ∈ Y , y = f ( x ) \begin{aligned} X &\xrightarrow{f}Y \\ \forall x\in X &\mapsto y\in Y,y=f\left( x \right) \end{aligned} X∀x∈Xf Y↦y∈Y,y=f(x)
则：

f ( X ) : = { y ∈ Y ∣ ∃ x ( ( x ∈ X ) ∧ ( y = f ( x ) ) ) } f(X):=\{y \in Y\mid \exists ~ x ((x \in X)\land(y=f(x)))\} f(X):={y∈Y∣∃ x((x∈X)∧(y=f(x)))}

称为函数的值域。

\quad 其中， X X X 称为定义域， Y Y Y 称为到达域。

\quad 显然，定义一个函数（或者说是映射），需要知晓：

定义域 X X X；
对应法则 f f f；
到达域 Y Y Y.

\quad 微积分主要研究的是可微函数，实变函数主要研究可测函数。通常我们研究的函数形式为 f : X ⟶ Y f:X \longrightarrow Y f:X⟶Y， X , Y ⊂ R n X,Y \subset \mathbb{R}^{n} X,Y⊂Rn. 而研究这种函数，首先就要先认识 R n \mathbb{R}^{n} Rn 或者 R \mathbb{R} R.

\quad R \mathbb{R} R 是什么东西？中学我们便接触它了，它就是实数集。但实际上，正如我们会使用计算机，但不清楚其构造原理一般，我们缺乏对实数集 R \mathbb{R} R 的真正认识！

参考：

张平. 数学分析课程.

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