数字三角形问题 (动态规划初步)

问题描述：

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数。

从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大？

如下图：

3 2

4 10 1

4 3 2 20

思考：把当前的位置（i，j)看成一个状态，然后定义状态（i,j）的指示函数d(i,j)为从格子(i,j)出发时能得到的最大和(包括格子(i,j)本身的值）。在这个状态定义下，原问题的解释d(1,1)。

状态状态转移：从格子(i,j)出发有两种决策。如果往左走，则走到(i+1,j)后需要求”从(i+1,j)出发后能得到的最大和”这一问题，即d(i+1,j)。类似的，往右走之后需要求解d(i+1,j+1)。

所以状态转移方程就是d(i,j)=max{d(i+1,j)，d(i+1,j+1)}+a(i,j);

方法一：递推计算（时间复杂度为O(n^2))

int i,j;
for(i=1; i<=n; ++i)  //下标从1开始 d[n][i]=a[n][i];
for(i=n-1; i>=1; --i){for(j=1; j<=i; ++j)d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);
}

因为i是枚举的，因此在计算 d[i][j] 前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]一定已经计算出来了

方法二：记忆化搜索(时间复杂度O(n^2) 首先memset(d,-1,sizeof(d)) 将d全部初始化为-1

int solve(int i, int j){if(d[i][j]>0) return d[i][j];return d[i][j] = a[i][j] + ( i==n ? 0 : max(solve(i+1, j), solve(i+1, j+1) ) );
}

题目中各个数都是非负的，这样只需要把d初始化为-1，即可通过判断是否d[i][j]>=0得知它是否已经被计算过。

数字三角形问题 (动态规划初步)相关推荐

python--lintcode109.数字三角形（动态规划）
描述给定一个数字三角形,找到从顶部到底部的最小路径和.每一步可以移动到下面一行的相邻数字上. 如果你只用额外空间复杂度O(n)的条件下完成可以获得加分,其中n是数字三角形的总行数. 您在真实的面试中 ...
数字三角形（动态规划经典例题）
资源限制时间限制:1.0s 内存限制:256.0MB 问题描述 (图3.1-1)示出了一个数字三角形. 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路径,使该路径所经过的数字的总和最大. ●每一步可沿左斜 ...
C语言数字三角形（动态规划）
题目总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 描述图1给出了一个数字三角形.从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径.对于每条路径,把路径上面的数加起来可以得到一个和,你的任务就是找到 ...
蓝桥杯数字三角形贪心+动态规划
参考代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int data[105][105];in ...
动态规划初步--数字三角形
数字三角形是一个由非负数组成的三角形,第n行有n个数,形如: 1 2 3 4 5 6 除最下行之外,每一行的左下和右下各有一个数,从第一行开始,向下,左或者右走一格,直到走到最后一行,所经过的路径上 ...
C++数字三角形问题（动态规划）
一.问题描述 ★问题描述:给字一个由n行数字组成的数字三角形(等腰三角形).试设计一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大. ★算法设计:对于给定的由n行数字组成的数字三 ...
数字三角形计算最大路径动态规划
以所经过的权值之和最大值为例进行说明. 行进的过程中,每次只有两种选择:向左或向右.一个有n层的数字三角形的完整路径有2n条,所以当n比较大的时候,搜索全部路径,从中找出最大值,效率较低. 采用动态规 ...
【算法】【动态规划篇】第3节：数字三角形问题
本期任务:介绍算法中关于动态规划思想的几个经典问题 [算法][动态规划篇]第1节:0-1背包问题 [算法][动态规划篇]第2节:数字矩阵问题 [算法][动态规划篇]第3节:数字三角形问题 [算法][动 ...
经典算法——数字三角形的三种解题方法：递推、记忆化搜索、动态规划
上题目链接: http://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Index/problemdetail/pid/1730.html 递推方法: i ...

数字三角形问题 (动态规划初步)

数字三角形问题 (动态规划初步)相关推荐

最新文章

热门文章