数字三角形（动态规划经典例题）

资源限制
时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB
问题描述
　　（图３.１－１）示出了一个数字三角形。请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
　　径，使该路径所经过的数字的总和最大。
　　●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　　●1＜三角形行数≤100；
　　●三角形中的数字为整数0，1，…99；

　　（图３.１－１）
输入格式
5 //三角形行数。下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

//要求输出最大和

样例输出
30

解题思路：
用二维数组D[r][j]存放数字三角形。
D(r,j)代表第r行第j列个数字
MaxSum(r,j)代表第r行第j列到底边的各条路径中，最佳路径的最大和。
问题就相当于求MaxSum（1,1）

典型的递归问题
D[r][j]出发，只能往下D[r+1][j]走或者往右下D[r+1][j+1]走

下面展示代码。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i,int j)
{if(i==n){return D[i][j];}else{int x=MaxSum(i+1,j);int y=MaxSum(i+1,j+1);return max(x,y)+D[i][j];}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>D[i][j];}}cout<<MaxSum(1,1)<<endl;return 0;
}

注：这样在输入较多行的时候我们会发现超时。

原因：存在大量重复计算。在调用MaxSum【1】【1】的时候，会调用MaxSum[2][1]和MaxSum[2][2]各一次，调用MaxSum[2][1]和MaxSum[2][2]时，会分别调用MaxSum[3][1]，MaxSum[3][2]，MaxSum[3][3] 1，2,1次呈杨辉三角形，时间复杂度为指数级，对于n=100，肯定超时。

解决方案：如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可以免去重复计算，那可以用O（N^2）时间完成计算，因为三角形的数字总数是n(n+1)/2

数字三角形的记忆递归性动归程序：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];//存放每一个数字到底边的最大和
int MaxSum(int i,int j)
{if(maxSum[i][j]!=-1)return maxSum[i][j];if(i==n){maxSum[i][j]=D[i][j];}else{int x=MaxSum(i+1,j);int y=MaxSum(i+1,j+1);maxSum[i][j]=max(x,y)+D[i][j];}return maxSum[i][j];
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>D[i][j];maxSum[i][j]=-1;}}cout<<MaxSum(1,1)<<endl;return 0;
}

递归转成递推：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main()
{int i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++){cin>>D[i][j];}}for(i=1;i<=n;i++)maxSum[n][i]=D[n][i];//第n行本身就是到底边的最大和for(i=n-1;i>=1;--i)for(j=1;j<=i;j++)maxSum[i][j]=max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+D[i][j];//从倒数第二行往上遍历cout<<maxSum[1][1];return 0;
}

空间优化：
没必要用二维数组maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j)，只要从底层一行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]就行，即只要存储一行的MaxSum值就可以。

进一步考虑，连maxSum数组都可以不要，直接用D的第N行替代maxSum即可
节省空间，时间复杂度不变。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int *maxSum;
int main()
{int i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++){cin>>D[i][j];}}maxSum=D[n];for(i=n-1;i>=1;--i)for(j=1;j<=i;j++)maxSum[j]=max(maxSum[j],maxSum[j+1])+D[i][j];cout<<maxSum[1]<<endl;return 0;
}

数字三角形（动态规划经典例题）相关推荐

ヾ(o◕∀◕)ﾉヾ各种动态规划经典例题（新手向、多类型）
ヾ(o◕∀◕)ﾉヾ各种动态规划经典例题(新手向.多类型) 一.前言ヾ(･ω･`｡)我把比较常见的类型的动态规划找了一些经典的例题,适合作为新手的入门例题,用于帮助我们对各种不同的动态规划有所了解,很 ...
C++ 数字三角形(动态规划)
一.题目有三种方法实现: 这里就求权值之和最大的,最小的类似就不分析了. 1.自底向上缺点:算法复杂,重复计算 2.自顶向下缺点:重复计算,浪费时间 3.动态规划思路和自底向上.自顶向下一 ...
poj1163数字三角形动态规划
很有意思的一题,递推动态规划,拿到这道题首先我们要想到开一个二维数组存这个三角形,然后我们发现如果这个三角形只有一层的话,到最底层的路线的长度和不就是自己本身么,然后从下向上走, 我们定义maxsum ...
运筹说第69期 | 动态规划经典例题讲解
通过前几期的学习,我们已经学会了动态规划的基本概念和基本原理,并且掌握了动态规划模型的建立和具体的求解方法,本期小编带大家学习动态规划在经济管理中的应用. 除了前面讲到的最优路径.资源分配问题外,动态 ...
poj1163 数字三角形 (动态规划)
试题链接:http://poj.org/problem?id=1163 1.记忆递归型(自顶向下) D[i][j]来存数字典型的递归问题:D(r,j)出发,下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1 ...
动态规划经典例题：乘积最大连续子数组
题目: 输入一个整形数组,数组里有正数也有负数.数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组,每个子数组都有一个和.求所有子数组的和的最大值.例如数组:arr[]={1, 2, 3, -2, 4, -3 ...
动态规划经典例题：钢条切割
一.递归算法如果在第i个地方切割,就把钢条分为两个长度为i,n-i的钢条,问题转化为求这切割两个钢条的最大价值之和考虑到不切割时的价值只要比较不切割时的价值和所有切割情况价值和的最大值即可递归 ...
动态规划经典例题-国王的金矿问题
金矿问题问题概述: 有一位国王拥有5座金矿,每座金矿的黄金储量不同, 需要参与挖掘的工人人数也不同.例如有的金矿储量是500kg黄金,需要5个工人来挖掘:有的金矿储量是200kg黄金,需要3个工人 ...
动态规划经典例题解析
一.不同路径问题题目描述一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为"Start" ). 机器人每次只能向下或者向右移动一步.机器人试图达到网格的右下角 ...

数字三角形（动态规划经典例题）

数字三角形（动态规划经典例题）相关推荐

最新文章

热门文章