关键字：概念, 前缀表达式, 前缀记法, 中缀表达式, 中缀记法, 波兰式, 后缀表达式, 后缀记法, 逆波兰式

它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
5 5 空 数字，直接入栈
- 5 - S1为空，运算符直接入栈
) 5 - ) 右括号直接入栈
4 5 4 - ) 数字直接入栈
× 5 4 - ) × S1栈顶是右括号，直接入栈
) 5 4 - ) × ) 右括号直接入栈
3 5 4 3 - ) × ) 数字
+ 5 4 3 - ) × ) + S1栈顶是右括号，直接入栈
2 5 4 3 2 - ) × ) + 数字
( 5 4 3 2 + - ) × 左括号，弹出运算符直至遇到右括号
( 5 4 3 2 + × - 同上
+ 5 4 3 2 + × - + 优先级与-相同，入栈
1 5 4 3 2 + × 1 - + 数字
到达最左端 5 4 3 2 + × 1 + - 空 S1中剩余的运算符

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
1 1 空 数字，直接入栈
+ 1 + S1为空，运算符直接入栈
( 1 + ( 左括号，直接入栈
( 1 + ( ( 同上
2 1 2 + ( ( 数字
+ 1 2 + ( ( + S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3 1 2 3 + ( ( + 数字
) 1 2 3 + + ( 右括号，弹出运算符直至遇到左括号
× 1 2 3 + + ( × S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4 1 2 3 + 4 + ( × 数字
) 1 2 3 + 4 × + 右括号，弹出运算符直至遇到左括号
- 1 2 3 + 4 × + - -与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5 1 2 3 + 4 × + 5 - 数字
到达最右端 1 2 3 + 4 × + 5 - 空 S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

[java] view plaincopy
  1. package qmk.simple_test;
  2. import java.util.Scanner;
  3. import java.util.Stack;
  4. /**
  5. * Example of converting an infix-expression to
  6. * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN).
  7. * Written in 2011-8-25
  8. * @author QiaoMingkui
  9. */
  10. public class Calculator {
  11. public static final String USAGE = "== usage ==\n"
  12. + "input the expressions, and then the program "
  13. + "will calculate them and show the result.\n"
  14. + "input 'bye' to exit.\n";
  15. /**
  16. * @param args
  17. */
  18. public static void main(String[] args) {
  19. System.out.println(USAGE);
  20. Scanner scanner = new Scanner(System.in);
  21. String input = "";
  22. final String CLOSE_MARK = "bye";
  23. System.out.println("input an expression:");
  24. input = scanner.nextLine();
  25. while (input.length() != 0
  26. && !CLOSE_MARK.equals((input))) {
  27. System.out.print("Polish Notation (PN):");
  28. try {
  29. toPolishNotation(input);
  30. } catch (NumberFormatException e) {
  31. System.out.println("\ninput error, not a number.");
  32. } catch (IllegalArgumentException e) {
  33. System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());
  34. } catch (Exception e) {
  35. System.out.println("\ninput error, invalid expression.");
  36. }
  37. System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");
  38. try {
  39. toReversePolishNotation(input);
  40. } catch (NumberFormatException e) {
  41. System.out.println("\ninput error, not a number.");
  42. } catch (IllegalArgumentException e) {
  43. System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());
  44. } catch (Exception e) {
  45. System.out.println("\ninput error, invalid expression.");
  46. }
  47. System.out.println("input a new expression:");
  48. input = scanner.nextLine();
  49. }
  50. System.out.println("program exits");
  51. }
  52. /**
  53. * parse the expression , and calculate it.
  54. * @param input
  55. * @throws IllegalArgumentException
  56. * @throws NumberFormatException
  57. */
  58. private static void toPolishNotation(String input)
  59. throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
  60. int len = input.length();
  61. char c, tempChar;
  62. Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();
  63. Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();
  64. Stack<Object> expression = new Stack<Object>();
  65. double number;
  66. int lastIndex = -1;
  67. for (int i=len-1; i>=0; --i) {
  68. c = input.charAt(i);
  69. if (Character.isDigit(c)) {
  70. lastIndex = readDoubleReverse(input, i);
  71. number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));
  72. s2.push(number);
  73. i = lastIndex;
  74. if ((int) number == number)
  75. expression.push((int) number);
  76. else
  77. expression.push(number);
  78. } else if (isOperator(c)) {
  79. while (!s1.isEmpty()
  80. && s1.peek() != ')'
  81. && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {
  82. expression.push(s1.peek());
  83. s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));
  84. }
  85. s1.push(c);
  86. } else if (c == ')') {
  87. s1.push(c);
  88. } else if (c == '(') {
  89. while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {
  90. expression.push(tempChar);
  91. s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
  92. if (s1.isEmpty()) {
  93. throw new IllegalArgumentException(
  94. "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");
  95. }
  96. }
  97. } else if (c == ' ') {
  98. // ignore
  99. } else {
  100. throw new IllegalArgumentException(
  101. "wrong character '" + c + "'");
  102. }
  103. }
  104. while (!s1.isEmpty()) {
  105. tempChar = s1.pop();
  106. expression.push(tempChar);
  107. s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
  108. }
  109. while (!expression.isEmpty()) {
  110. System.out.print(expression.pop() + " ");
  111. }
  112. double result = s2.pop();
  113. if (!s2.isEmpty())
  114. throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
  115. System.out.println();
  116. if ((int) result == result)
  117. System.out.println("the result is " + (int) result);
  118. else
  119. System.out.println("the result is " + result);
  120. }
  121. /**
  122. * parse the expression, and calculate it.
  123. * @param input
  124. * @throws IllegalArgumentException
  125. * @throws NumberFormatException
  126. */
  127. private static void toReversePolishNotation(String input)
  128. throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
  129. int len = input.length();
  130. char c, tempChar;
  131. Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();
  132. Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();
  133. double number;
  134. int lastIndex = -1;
  135. for (int i=0; i<len; ++i) {
  136. c = input.charAt(i);
  137. if (Character.isDigit(c) || c == '.') {
  138. lastIndex = readDouble(input, i);
  139. number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));
  140. s2.push(number);
  141. i = lastIndex - 1;
  142. if ((int) number == number)
  143. System.out.print((int) number + " ");
  144. else
  145. System.out.print(number + " ");
  146. } else if (isOperator(c)) {
  147. while (!s1.isEmpty()
  148. && s1.peek() != '('
  149. && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {
  150. System.out.print(s1.peek() + " ");
  151. double num1 = s2.pop();
  152. double num2 = s2.pop();
  153. s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));
  154. }
  155. s1.push(c);
  156. } else if (c == '(') {
  157. s1.push(c);
  158. } else if (c == ')') {
  159. while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {
  160. System.out.print(tempChar + " ");
  161. double num1 = s2.pop();
  162. double num2 = s2.pop();
  163. s2.push(calc(num2, num1, tempChar));
  164. if (s1.isEmpty()) {
  165. throw new IllegalArgumentException(
  166. "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");
  167. }
  168. }
  169. } else if (c == ' ') {
  170. // ignore
  171. } else {
  172. throw new IllegalArgumentException(
  173. "wrong character '" + c + "'");
  174. }
  175. }
  176. while (!s1.isEmpty()) {
  177. tempChar = s1.pop();
  178. System.out.print(tempChar + " ");
  179. double num1 = s2.pop();
  180. double num2 = s2.pop();
  181. s2.push(calc(num2, num1, tempChar));
  182. }
  183. double result = s2.pop();
  184. if (!s2.isEmpty())
  185. throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
  186. System.out.println();
  187. if ((int) result == result)
  188. System.out.println("the result is " + (int) result);
  189. else
  190. System.out.println("the result is " + result);
  191. }
  192. /**
  193. * calculate the two number with the operation.
  194. * @param num1
  195. * @param num2
  196. * @param op
  197. * @return
  198. * @throws IllegalArgumentException
  199. */
  200. private static double calc(double num1, double num2, char op)
  201. throws IllegalArgumentException {
  202. switch (op) {
  203. case '+':
  204. return num1 + num2;
  205. case '-':
  206. return num1 - num2;
  207. case '*':
  208. return num1 * num2;
  209. case '/':
  210. if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");
  211. return num1 / num2;
  212. default:
  213. return 0; // will never catch up here
  214. }
  215. }
  216. /**
  217. * compare the two operations' priority.
  218. * @param c
  219. * @param peek
  220. * @return
  221. */
  222. private static int priorityCompare(char op1, char op2) {
  223. switch (op1) {
  224. case '+': case '-':
  225. return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);
  226. case '*': case '/':
  227. return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0);
  228. }
  229. return 1;
  230. }
  231. /**
  232. * read the next number (reverse)
  233. * @param input
  234. * @param start
  235. * @return
  236. * @throws IllegalArgumentException
  237. */
  238. private static int readDoubleReverse(String input, int start)
  239. throws IllegalArgumentException {
  240. int dotIndex = -1;
  241. char c;
  242. for (int i=start; i>=0; --i) {
  243. c = input.charAt(i);
  244. if (c == '.') {
  245. if (dotIndex != -1)
  246. throw new IllegalArgumentException(
  247. "there have more than 1 dots in the number.");
  248. else
  249. dotIndex = i;
  250. } else if (!Character.isDigit(c)) {
  251. return i + 1;
  252. } else if (i == 0) {
  253. return 0;
  254. }
  255. }
  256. throw new IllegalArgumentException("not a number.");
  257. }
  258. /**
  259. * read the next number
  260. * @param input
  261. * @param start
  262. * @return
  263. * @throws IllegalArgumentException
  264. */
  265. private static int readDouble(String input, int start)
  266. throws IllegalArgumentException {
  267. int len = input.length();
  268. int dotIndex = -1;
  269. char c;
  270. for (int i=start; i<len; ++i) {
  271. c = input.charAt(i);
  272. if (c == '.') {
  273. if (dotIndex != -1)
  274. throw new IllegalArgumentException(
  275. "there have more than 1 dots in the number.");
  276. else if (i == len - 1)
  277. throw new IllegalArgumentException(
  278. "not a number, dot can't be the last part of a number.");
  279. else
  280. dotIndex = i;
  281. } else if (!Character.isDigit(c)) {
  282. if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)
  283. return i;
  284. else
  285. throw new IllegalArgumentException(
  286. "not a number, dot can't be the last part of a number.");
  287. } else if (i == len - 1) {
  288. return len;
  289. }
  290. }
  291. throw new IllegalArgumentException("not a number.");
  292. }
  293. /**
  294. * return true if the character is an operator.
  295. * @param c
  296. * @return
  297. */
  298. private static boolean isOperator(char c) {
  299. return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/');
  300. }
  301. }

下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：

== usage ==
input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.
input 'bye' to exit.
input an expression:
3.8+5.3
Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3
the result is 9.1
Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 +
the result is 9.1
input a new expression:
5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88)
Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88
the result is 69.88636363636364
Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + /
the result is 69.88636363636364
input a new expression:
1+((2+3)*4)-5
Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5
the result is 16
Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 -
the result is 16
input a new expression:
bye
program exits

前缀、中缀、后缀表达式(转载)相关推荐

  1. python【数据结构与算法】表达式(前缀中缀后缀表达式)与Two fork tree

    文章目录 1 相关概念 2 与二叉树关系 3 表达式转换 4 另一种方法 1 相关概念 前缀表达式(Prefix Notation)是指将运算符写在前面操作数写在后面的不包含括号的表达式,而且为了纪念 ...

  2. 数据结构:前缀,中缀,后缀表达式(逆波兰表达式)

    前缀表达式(波兰表达式) 前缀表达式的运算符位于操作数之前. 比如 (1+2)*3-4  对应的前缀表达式就是: - * + 1 2 3 4 前缀表达式的计算机求值 从右至左扫描表达式,遇到数字时,就 ...

  3. 前缀中缀后缀表达式的计算求值

    原文在这里 表达式 前缀表达式(波兰表达式) 前缀表达式又称波兰式,前缀表达式的运算符位于操作数之前 举例说明: (3+4)×5-6 对应的前缀表达式就是 - × + 3 4 5 6 前缀表达式求值 ...

  4. 表达式树前缀中缀后缀表达式

    表达式树( expression tree ), 表达式树的树叶是操作数( operand ),比如常数或变量,而其他的节点为操作符( operator )如: 由于这里所有的操作都是二元的,因此这棵 ...

  5. 前缀 中缀 后缀表达式2

    对于未经训练的用户来说,计算机科学领域中数学表达式求值的传统方法即不顺手又难以使用:软件工程师 Nikola.Stepan 旨在改变这些传统方法.他的 applet W3Eval 对表达式求值与您用纸 ...

  6. 前缀中缀后缀表达式介绍

    一 前缀表达式 1 前缀表达式又称波兰式,前缀表达式的运算符位于操作数之前. 2 举例 (3+4)×5-6 对应的前缀表达式是: - × + 3 4 5 6 3 前缀表达式的计算机求值过程 从右至左扫 ...

  7. 前缀 中缀 后缀表达式

    1.前缀表达式叫波兰式,后缀叫逆波兰式 2.中缀表达式转另外两个比较简单,前后缀装中缀较麻烦 3.问题分求表达式还是求值,如果是求值则需要两个栈,一个是操作符栈,一个是操作数栈,等操作符栈入栈完毕后依 ...

  8. C#数据结构-前缀中缀后缀+中缀转后缀

    目录 一.前缀中缀后缀表达式 1.中缀表达式 2.前缀表达式 3.后缀表达式 二.中缀转后缀 一.前缀中缀后缀表达式 1.中缀表达式 中缀表达式就是平常生活中计算式子的写法,例如:(3+4)*5-6  ...

  9. 中缀表达式转换为前缀及后缀表达式并求值【摘】

    它们都是对表达式的记法,因此也被称为前缀记法.中缀记法和后缀记法.它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同:前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前:中缀和后缀同理. 举例: (3 + 4) ...

最新文章

  1. 调整模型 与 提纯样本的关系过程有点类似EM算法过程，不知道这样理解是否是正确理解，固定A调B,B调到最优后，固定B再调A,循环往复，直至最优。
  2. 【智能驾驶】自动驾驶深度感知技术对车和行人的检测
  3. 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
  4. 009_Gson版本支持
  5. Java设计模式详解
  6. 关于EXPORT_SYMBOL
  7. ajax请求url 绝对路径与相对路径
  8. 2016-12-31：最后一天：回顾
  9. Linux kernel 4.x中的min和max宏
  10. MySQL主从数据同步延时分析
  11. 泰拉瑞亚测试速度的软件,泰拉瑞亚1.4工具速度是多少 泰拉瑞亚1.4工具速度介绍-游侠网...
  12. oracle 取awr报告,Oracle生成awr报告
  13. 如何解决终端（cmd或Terminal）的下载速度很慢
  14. 高德地图哪个语音包最好_高德语音导航怎么呼叫？高德地图语音包怎么设置
  15. 数据结构与算法应用（五）：Minimum Subarray
  16. 简单python网络爬虫批量下载视频
  17. golang入门笔记——kitex
  18. 最小公倍数与最大公因数
  19. iOS开发 --- 开发工具
  20. JS详解 | 对象 事件 节点 | 系统性学习 | 无知的我费曼笔记

热门文章

  1. 监控服务器登录用户的操作脚本（linux下shell.sh）
  2. Java 内存分配——Thinking in Java 4th 读书笔记
  3. 含有“外骨骼”的电影和游戏
  4. mysql驱动不支持批处理_ADO.NET 中可以发送包含多个SQL语句的批处理脚本到SQL Server，但是用MySQL的ODBC驱动不行...
  5. java http 上传_Java使用HttpURLConnection上传文件
  6. openstack云主机无法绑定ip_智汇华云｜OpenStack 虚拟机 GPU 性能优化
  7. 20175316 盛茂淞 实验一 Java开发环境的熟悉
  8. Oracle 提示符
  9. Activiti工作流的应用示例
  10. 深入理解 C# 协变和逆变【转】