主定理(master theorem)学习小记

前言

这是分析复杂度的一个玩意儿，东西不多，原本只要死记一下就好了，但是考虑到我不太好的记忆力，所以还是解析一遍比较好

正文

主定理是用来分析T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(\frac nb)+f(n)T(n)=aT(bn)+f(n)满足a,b≥1a,b\ge1a,b≥1的复杂度的
其实感觉也挺好分析的
考虑T(n)T(n)T(n)的瓶颈问题
假设aT(nb)>>f(n)aT(\frac nb)>>f(n)aT(bn)>>f(n)
那么T(1)=O(1),T(n)=aT(nb)=alogbn=Θ(nlogba)T(1)=\mathcal O(1),T(n)=aT(\frac nb)=a^{log_bn}=\Theta(n^{log_ba})T(1)=O(1),T(n)=aT(bn)=alogbn=Θ(nlogba)
因为要满足aT(nb)>>f(n)aT(\frac nb)>>f(n)aT(bn)>>f(n)，所以此时的条件为f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0f(n)=\mathcal O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0
即当f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0f(n)=\mathcal O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0时，T(n)=Θ(nlogba)T(n)=\Theta(n^{log_ba})T(n)=Θ(nlogba)

假设aT(nb)<<f(n)aT(\frac nb)<<f(n)aT(bn)<<f(n)
因为前者的nnn会变小，使得f(x)f(x)f(x)差的非常快，所以显然瓶颈在后者
所以当f(n)=O(nlogba+ϵ),ϵ>0f(n)=\mathcal O(n^{log_ba+\epsilon}),\epsilon>0f(n)=O(nlogba+ϵ),ϵ>0时，T(n)=Θ(f(n))T(n)=\Theta(f(n))T(n)=Θ(f(n))

然后我们考虑一下f(n)=O(nlogba)f(n)=\mathcal O(n^{log_ba})f(n)=O(nlogba)的情况
那么T(1)=O(1),T(n)=aT(nb)+O(nlogba)T(1)=\mathcal O(1),T(n)=aT(\frac nb)+O(n^{log_ba})T(1)=O(1),T(n)=aT(bn)+O(nlogba)
这个东西列出来其实不好算，但是我们可以脑补一下这个递归大概有logn层，也许会想到假如a、ba、ba、b的数值极端怎么办，但其实后面的nlogban^{log_ba}nlogba已经保证了结论的正确性，大雾
所以最后的复杂度是Θ(f(n)logn)\Theta(f(n)logn)Θ(f(n)logn)
在实际写的时候可以设f(n)=O(nlogbalogkn)f(n)=\mathcal O(n^{log_ba}log^kn)f(n)=O(nlogbalogkn)，那么T(n)=Θ(nlogbalogk+1n)T(n)=\Theta(n^{log_ba}log^{k+1}n)T(n)=Θ(nlogbalogk+1n)

总结

对于T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(\frac nb)+f(n)T(n)=aT(bn)+f(n)，满足a,b≥1a,b\ge1a,b≥1
T(n)={Θ(nlogba)f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0Θ(nlogbalogk+1n)f(n)=O(nlogbalogkn)Θ(f(n))f(n)=O(nlogba+ϵ),ϵ>0T(n)=\begin{cases} \Theta(n^{log_ba})&f(n)=\mathcal O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0\\ \Theta(n^{log_ba}log^{k+1}n)&f(n)=\mathcal O(n^{log_ba}log^kn)\\ \Theta(f(n))&f(n)=\mathcal O(n^{log_ba+\epsilon}),\epsilon>0 \end{cases}T(n)=⎩⎪⎨⎪⎧Θ(nlogba)Θ(nlogbalogk+1n)Θ(f(n))f(n)=O(nlogba−ϵ),ϵ>0f(n)=O(nlogbalogkn)f(n)=O(nlogba+ϵ),ϵ>0

后记

本篇文章一些符号不怎么严谨，仅能表意，主要是写一个推的方法，如果有什么好的建议欢迎在评论提出
另外如果有更好的理解方式，也欢迎与我交流
2019.10.17：之前有一些错误进行了改正

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