分治法主定理

主定理的证明

假设有递归式：
T(n)=aT(nb)+f(n)T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n)T(n)=aT(bn)+f(n)
证明：
T(n)=aT(n/b)+f(n)T(n) = aT(n/b) + f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n)=a[aT(n/b2)+f(n/b)]+f(n)= a\big[aT(n/b^2)+f(n/b)\big] + f(n) =a[aT(n/b2)+f(n/b)]+f(n)=a2T(n/b2)+f(n)+af(n/b)= a^2T(n/b^2) + f(n) + af(n/b) ~\,=a2T(n/b2)+f(n)+af(n/b) =akT(n/bk)+∑j=0k−1ajf(n/bj)= a^{k}T(n/b^k) + \sum_{j=0}^{k-1} a^j f(n/b^j) ~~~~=akT(n/bk)+j=0∑k−1ajf(n/bj) =⋯(不妨设n是b的幂)= \cdots ~(不妨设n是b的幂)~~~~~~~~~~~~=⋯ (不妨设n是b的幂) =alogbnT(1)+∑j=0logbn−1ajf(n/bj)= a^{log_b^n}T(1) + \sum_{j=0}^{log_b^n-1} a^j f(n/b^j) ~~ =alogbnT(1)+j=0∑logbn−1ajf(n/bj)
由对数的换底公式：alogbn=blogb(alogbn)=blogbalogbn=blogbnlogba=blogb(nlogba)=nlogbaa^{log_b^n} =b^{log_b^{(a^{log_b^n})}} =b^{log_b^a log_b^n} =b^{log_b^n log_b^a}= b^{log_b^{(n^{log_b^a})}}=n^{log_b^a}alogbn=blogb(alogbn)=blogbalogbn=blogbnlogba=blogb(nlogba)=nlogba

所以原递归式的渐进复杂度为O(nlogba)+∑j=0logbn−1ajf(n/bj)O(n^{log_b^a}) + \sum_{j=0}^{log_b^n-1} a^j f(n/b^j)O(nlogba)+j=0∑logbn−1ajf(n/bj)

简单起见，下面只考虑 f(n)=nkf(n) = n^kf(n)=nk 的情形：
∑j=0logbn−1ajf(n/bj)\sum_{j=0}^{log_b^n-1} a^j f(n/b^j)j=0∑logbn−1ajf(n/bj)=∑j=0logbn−1aj(n/bj)k= \sum_{j=0}^{log_b^n-1} a^j (n/b^j)^k ~~~~~~~=j=0∑logbn−1aj(n/bj)k =nk∑j=0logbn−1(a/bk)j= n^k\sum_{j=0}^{log_b^n-1} (a/b^k)^j ~~~~~~~=nkj=0∑logbn−1(a/bk)j ={nk(1−(a/bk)logbn1−a/bk),如果a≠bknk(logbn−1),如果a=bk= \left\{ \begin{array}{lr} n^k \left(\frac{1-(a/b^k)^{log_b^n}}{1-a/b^k}\right), & \text{如果$a\neq b^k$}\\ &\\ n^k(log_b^n-1), & \text{如果$a = b^k$} \end{array} \right. =⎩⎪⎨⎪⎧nk(1−a/bk1−(a/bk)logbn),nk(logbn−1),如果a=bk如果a=bk={O(nk),如果a<bk(k>logba)O(nlogba),如果a>bkO(nklogbn)=O(nlogbalogbn),如果a=bk= \left\{ \begin{array}{lr} O(n^k) , & \text{如果$a < b^k(k>log_b^a)$}\\ &\\ O(n^{log_b^a}), & \text{如果$a> b^k$}\\ &\\ O(n^klog_b^n)=O(n^{log_b^a}log_b^n), & \text{如果$a = b^k$} \end{array} \right. =⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧O(nk),O(nlogba),O(nklogbn)=O(nlogbalogbn),如果a<bk(k>logba)如果a>bk如果a=bk

综上所述，对 T(n)=aT(nb)+f(n)T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n)T(n)=aT(bn)+f(n) 的情形：
T(n)={O(nk),如果a<bk(k>logba)O(nlogba),如果a>bkO(nklogbn)=O(nlogbalogbn),如果a=bkT(n)= \left\{ \begin{array}{lr} O(n^k) , & \text{如果$a< b^k(k>log_b^a)$}\\ &\\ O(n^{log_b^a}), & \text{如果$a> b^k$}\\ &\\ O(n^klog_b^n)=O(n^{log_b^a}log_b^n), & \text{如果$a = b^k$} \end{array} \right. T(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧O(nk),O(nlogba),O(nklogbn)=O(nlogbalogbn),如果a<bk(k>logba)如果a>bk如果a=bk

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