HDU - 5988 Coding Contest(最大费用最大流+思维建边)

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题目大意：给出n个点和m条边，每个点有ai个人和bi份食物，每条边最多能通过ci个人，以及除了第一个人之外，其他人通过每条边触电的概率为pi，在以上约束下，要求每个人都必须吃到一份食物，问最小触电概率是多少，题目保证至少有一组答案

题目分析：首先我们需要将问题转换一下，每个点有ai个人和bi份食物，可以让当前的人和食物尽可能的匹配，只有三种情况：

ai>bi：此时人有剩余，我们将其视为“人”点
ai<bi：此时食物有剩余，我们将其视为“食物”点
ai=bi：此时人和食物完全匹配，则忽略该点

先忽略触电的约束条件，我们的目的是要让所有的人都找到一份食物，所以我们可以先建图，让源点指向每一个“人”点，权值为该点人的数量，费用为0，再让每个“食物”点指向汇点，权值为该点食物的数量，费用为0，然后就是让“人”点与“食物”点建边了，这个就需要我们用概率来作为边权了，如果我们直接求触电的概率比较难求，但正难则反，我们可以求不触电的概率，最后用1减去这个概率就是答案了，因为每条边上的费用都是单位流量上的费用，并且最小费用只能求和，但我们最终需要求解的公式是这个：

$P=1-(1-p_1)^{k_1}(1-p_2)^{k_2}...(1-p_m)^{k_m}$

也就是说需要求后面那一块连乘的部分，其实我们可以直接取log，就能化乘为和了：（以2为底以10为底都可以）

$P=1-2^{(log_2(1-P_1)^{k_1}+log_2(1-P_2)^{k_2}+...+log_2(1-P_m)^{k_m})}$

即

$P=1-2^{(k_1log_2(1-P_1)+k_2log_2(1-P_2)+...+k_mlog_2(1-P_m))}$

因为答案P是触电的概率，我们想让其尽量小，那么就需要让2的指数上尽量大，这样一下子就豁然开朗了，只需要让“人”点到“食物”点的边权为最多能通过的人，单位费用为不触电的概率就好了

建好边后直接跑一边最大费用最大流就能跑出2的指数了，再套回上面的公式就能得到答案了

不过这个题目有个小坑，就是在spfa更新状态时的比较大小，如果不加eps会T掉，然后费用流对于正常的模板将里面的cost和距离都改成double就好了，其他的都是一样的

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;//点const int M=5100;//边const double eps=1e-8;struct Edge
{int to,w,next;double cost;
}edge[M<<2];int head[N],cnt,n,m;void addedge(int u,int v,int w,double cost)
{edge[cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].cost=cost;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;edge[cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].cost=-cost;edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++;
}double d[N];int incf[N],pre[N];bool vis[N];bool spfa(int s,int t)
{for(int i=0;i<N;i++)d[i]=-1e10;memset(vis,false,sizeof(vis));memset(pre,-1,sizeof(pre));queue<int>q;q.push(s);vis[s]=true;incf[s]=inf;d[s]=0;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();vis[u]=false;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;int w=edge[i].w;double cost=edge[i].cost;if(!w)continue;if(d[v]<d[u]+cost-eps){d[v]=d[u]+cost;pre[v]=i;incf[v]=min(incf[u],w);if(!vis[v]){vis[v]=true;q.push(v);}}}}return pre[t]!=-1;
}double update(int s,int t)
{int x=t;while(x!=s){int i=pre[x];edge[i].w-=incf[t];edge[i^1].w+=incf[t];x=edge[i^1].to;}return d[t]*incf[t];
}void init()
{memset(head,-1,sizeof(head));cnt=0;
}double solve(int st,int ed)
{double ans=0;while(spfa(st,ed))ans+=update(st,ed);return ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){init();scanf("%d%d",&n,&m);int st=N-1,ed=st-1;for(int i=1;i<=n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);int temp=x-y;if(temp<0)addedge(i,ed,-temp,0);if(temp>0)addedge(st,i,temp,0);}while(m--){int u,v,w;double cost;scanf("%d%d%d%lf",&u,&v,&w,&cost);if(w>0)addedge(u,v,1,0);if(w>1)addedge(u,v,w-1,1.0*log2(1.0-cost));}printf("%.2f\n",1.0-pow(2.0,solve(st,ed)));}return 0;
}

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