AcWing - 246. 区间最大公约数(树状数组+线段树)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的序列，需要执行 mmm 次操作，每次操作分为下列两种类型：

C l r d：将区间 [l,r][l,r][l,r] 位置的数字都加上 ddd
Q l r：询问区间 [l,r][l,r][l,r] 的最大公约数

题目分析：首先是推广一下最大公约数的公式：

gcd(a,b)=gcd(a,b−a)gcd(a,b)=gcd(a,b−a)gcd(a,b)=gcd(a,b−a)
gcd(a,b,c)=gcd(a,b−a,c−b)gcd(a,b,c)=gcd(a,b-a,c-b)gcd(a,b,c)=gcd(a,b−a,c−b)
gcd(a1,a2,...an)=gcd(a1,a2−a1,...,an−an−1)gcd(a_1,a_2,...a_n)=gcd(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})gcd(a1,a2,...an)=gcd(a1,a2−a1,...,an−an−1)

如此一来我们可以同时维护一下原数组以及差分数组，设 bi=ai−ai−1b_i=a_i-a_{i-1}bi=ai−ai−1，对于每次修改而言，差分数组是单点修改，而原数组是区间修改。对于每次查询而言，差分数组是区间查询，原数组是单点查询。

最后说一下改如何查询，对于 [l,r][l,r][l,r] 的查询，我们只需要输出 gcd(a[l],b[l+1],...,b[r])gcd(a[l],b[l+1],...,b[r])gcd(a[l],b[l+1],...,b[r]) 就是答案了

代码：

// Problem: 区间最大公约数
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/247/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
LL c[N],a[N];
int n,m;
struct Node {int l,r;LL sum;
}tree[N<<2];
void pushup(int k) {tree[k].sum=__gcd(tree[k<<1].sum,tree[k<<1|1].sum);
}
void build(int k,int l,int r) {tree[k]={l,r};if(l==r) {tree[k].sum=a[l]-a[l-1];return;}int mid=(l+r)>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);pushup(k);
}
void update(int k,int pos,LL val) {if(pos>n) {return;}if(tree[k].l==tree[k].r) {tree[k].sum+=val;return;}int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;if(pos<=mid) {update(k<<1,pos,val);} else {update(k<<1|1,pos,val);}pushup(k);
}
LL query(int k,int l,int r) {if(tree[k].l>r||tree[k].r<l) {return 0;}if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r) {return tree[k].sum;}return __gcd(query(k<<1,l,r),query(k<<1|1,l,r));
}
void add(LL x,LL val) {for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i)) {c[i]+=val;}
}
LL ask(LL x) {LL ans=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) {ans+=c[i];}return ans;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);read(n),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);}build(1,1,n);while(m--) {char op[5];scanf("%s",op);if(op[0]=='Q') {int l,r;read(l),read(r);printf("%lld\n",__gcd(a[l]+ask(l),abs(query(1,l+1,r))));} else if(op[0]=='C') {int l,r;LL val;read(l),read(r),read(val);add(l,val),add(r+1,-val);update(1,l,val),update(1,r+1,-val);}}return 0;
}

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