最大团，最大独立集，Born

最大团

从一个无向图中找出一个点集，使得此集合中任意两个点都有一条直接相连的边。

Born_Kerbosch算法：

从后往前枚举每一个点为第一个点，选择的其他点为大于这个点的情况。用vecvecvec记录当前选择的点的集合，判断一个点是否可以选择，只需要枚举已选择的点是否都与之直接相连。

优化： 用numnumnum记录每个点往后的最优情况，如果最优情况加上当前点数量都不能比已有答案ansansans更优，直接returnreturnreturn。

例题：POJ-1492

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=53;
int Mp[maxn][maxn];
int ans_vec[maxn],vec[maxn],num[maxn];//答案团，当前团，每个位置开始遍历得到的最大团int n,ans;
int dfs(int p,int siz){for(int i=p+1;i<=n;i++){if(num[i]+siz<=ans)return 0;if(Mp[p][i]){int can=1;for(int j=1;j<=siz;j++){if(!Mp[vec[j]][i]){can=0;break;}}if(can){vec[siz+1]=i;if(dfs(i,siz+1))return 1;}}}if(siz>ans){ans=siz;for(int i=1;i<=ans;i++)ans_vec[i]=vec[i];return 1;}return 0;
}
int deal(){ans=-1;for(int i=n;i>=1;i--){vec[1]=i;dfs(i,1);num[i]=ans;}return ans;
}
int main(){scanf("%d",&n);while(n){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",Mp[i]+j);}}printf("%d\n",deal());scanf("%d",&n);}
}

最大独立集

以前用二分图匹配求过二分图的最大独立集，那种情况前提是二分图，且更适用于点多边少的情况，而对于点少边多的稠密有环图，需要用Born_Kerbosch算法。

从一个无向图中找出一个点集，使得此集合中任意两个点都没有一条直接相连的边。

定理： 一个图的最大独立集等于其补图的最大团

证明： 对于一个图SSS，其最大团集合V1V_1V1，任意属于V1V_1V1的两个点都没有边直接相连，则其补图S‾\overline SS中，任意属于V1V_1V1的两个点皆有边直接相连。

例题：Codeforces-1105E

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=53;
int Mp[maxn][maxn];
int ans_vec[maxn],vec[maxn],num[maxn];//答案团，当前团，每个位置开始遍历得到的最大团int m,n,ans;
bool vis[maxn];
int ct;
map<string,int>id;int dfs(int p,int siz){for(int i=p+1;i<=n;i++){if(num[i]+siz<=ans)return 0;if(!Mp[p][i]){int can=1;for(int j=1;j<=siz;j++){if(Mp[vec[j]][i]){can=0;break;}}if(can){vec[siz+1]=i;if(dfs(i,siz+1))return 1;}}}if(siz>ans){ans=siz;for(int i=1;i<=ans;i++)ans_vec[i]=vec[i];return 1;}return 0;
}
int deal(){ans=-1;for(int i=n;i>=1;i--){vec[1]=i;dfs(i,1);num[i]=ans;}return ans;
}
int main(){string tmp;scanf("%d%d",&m,&n);vector<int>V;for(int i=1;i<=m;i++){int f;scanf("%d",&f);if(f==1){for(int i=0;i<V.size();i++){for(int j=0;j<V.size();j++){if(i==j)continue;Mp[V[i]][V[j]]=1;}}for(int i=0;i<V.size();i++)vis[V[i]]=0;V.clear();}else{cin>>tmp;if(!id.count(tmp))id[tmp]=++ct;int p=id[tmp];if(vis[p])continue;vis[p]=1;V.push_back(p);}}for(int i=0;i<V.size();i++){for(int j=0;j<V.size();j++){if(i==j)continue;Mp[V[i]][V[j]]=1;}}printf("%d\n",deal());
}

间接连接：

如果将两个点的直接连接换成间接连接，那么只需要用floyd求一下传递闭包。

for (int k=0; k<n; k++)            for (int i=0; i<n; i++)                for (int j=0; j<n; j++)                   if (Mp[i][k] && Mp[k][j]) Mp[i][j]=1;

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