第2节 节点电压法

一、节点电压方程出发点

进一步减少方程数，用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立方程。

图3.2-1电路共有4个节点、 6条支路(把电流源和电导并联的电路看成是一条支路)。用支路电流法计算，需列写6个独立的方程

选取节点d为参考点，d点的电位为

，则节点a、b、c为独立的节点，它们与d点之间的电压称为各节点的节点电压(node voltage)，实际上就是各点的电位。这样a、b、c的节点电压是

。

各电导支路的支路电流也就可用节点电压来表示

结 论：用3个节点电压表示了6个支路电压。进一步减少了方程数。

1、节点电压方程

根据KCL，可得图3.2-1电路的节点电压方程

节点电压方程的一般形式

自电导×本节点电压－Σ(互电导×相邻节点电压)= 流入本节点的所有电流源的电流的代数和

自电导(self conductance)是指与每个节点相连的所有电导之和，互电导(mutual conductance)是指连接两个节点之间的支路电导。

节点电压法分析电路的一般步骤

确定参考节点，并给其他独立节点编号。列写节点电压方程，并求解方程，求得各节点电压。由求得的节点电压，再求其他的电路变量，如支路电流、电压等。

例3.2-1 图3.2-1所示电路中，G1=G2=G3=2S，G4=G5=G6=1S，

，

，求各支路电流。

解：1. 电路共有4个节点，选取d为参考点，

。其他三个独立节点的节点电压分别为

。

2. 列写节点电压方程

节点a：

节点b：

节点c：

代入参数，并整理，得到

解方程，得

3. 求各支路电流

特 别 注 意：节点电压方程的本质是KCL，即Σ(流出电流) =Σ(流入电流)，在节点电压方程中，方程的左边是与节点相连的电导上流出的电流之和，方程的右边则是与节点相连的电流源流入该节点的电流之和。如果某个电流源上还串联有一个电导，那么该电导就不应再计入自电导和互电导之中，因为该电导上的电流(与它串联的电流源的电流)已经计入方程右边了。

例3.2-2 图3.2-2所示电路，试列出它的节点电压方程。

解：对于节点a，流入的电流源

的支路上还串联了一个电阻R1，在计算a点的自电导时，不应再把R1计算进去，所以a点的节点电压方程为

b点的节点电压方程为

2、弥尔曼定理

当电路只有两个节点时，这种电路称为单节偶电路(single node-pair circuit)。对于单节偶电路，有弥尔曼定理。

弥尔曼定理：对于只有两个节点的单节偶电路，节偶电压等于流入独立节点的所有电流源电流的代数和除以节偶中所有电导之和。

二、含有电压源的电路

1、有伴电压源

结 论：如果电路中的电压源是有伴电压源，将有伴电压源等效成有伴电流源。

方法一 把电压源当电流源处理

把电压源当作电流源看待，并设定电压源的电流，列写节点电压方程。利用“电压源的电压等于其跨接的两个独立节点的节点电压之差”这个关系，再补充一个方程式，联立求解。

2、无伴电压源

电压源的一端与参考点相连

结 论

电压源一端与参考点相连，另一端的节点电压就是电压源的电压，节点电压方程减少一个。

方法二 超节点(super node)方法

虚线框当作一个超节点处理，列写节点电压方程。

注 意：列写这个超节点的方程时，其中的“自电导×本节点电压”这一项应包括两个部分，即组成该超节点的每个节点的电压与其相应的自电导的乘积。

例3.2-3 图3.2-3所示电路，试列出它的节点电压方程，并求出电流I。

解：选取a、b、c为独立节点，由于6V无伴电压源的一端与参考点相连，所以c点的节点电压为

(1)

对于节点a：

(2)

对于节点b：

(3)

将(1)式代入(2)、(3)式，并整理，得到

解得：

所以，

2)电压源的两端都不与参考点相连

例3.2-4 图3.2-4所示电路，

，用节点电压法计算各电阻上的电压。

解：电路中含有两个电压源，相互之间又无公共端，所以只有一个电压源的一端可以连到参考点，而另一电压源的两端都不能与参考点相连。

选取1V电压源的正极为参考点，并标出其他独立节点a、b、c，如图3.2-5所示。这样，

(1)

3.6V电压源的两端都不与参考点相连，跨接于节点a、c之间，设它的电流为I，并把它当作电流源处理。

对于节点a：

(2)

对于节点c：

(3)

代入参数，并整理(1)、(2)、(3)式，得

(4)

再补充电压源的方程：

(5)

解得：

。

所以，各电阻上的电压为

利用超节点的方法计算例3.2-4。

对超节点：

对节点b：

另外，对3.6V的电压源：

代入参数，并整理，得

解得：

三、含有受控源电路

思 路：电路中含有受控源时，将受控源当独立源处理，列写节点电压方程。当然，当受控源的控制量不是某个节点的节点电压时，还需补充一个反映控制量与节点电压之间关系的方程式。

例3.2-5 电路如图3.2-5(a)所示，求电流I。

解：电路中含有一受控电流源，将它当作独立电流源看待。另外还有一个有伴电压源，将该有伴电压源等效成有伴电流源，等效电路如图3.2-6(b)所示。

对节点a：

对节点b：

又

经整理后，得到

解得：

所以，电流