状态压缩DP

蒙德里安的梦想

分析题目，当我们先摆横着放的方块，再摆放竖着放的方块，当横着放的小方块摆放完后，竖着放的方块也就确定了，因此总方案数应该等于只放横着的小方块的合法方案数。我们考虑每一列可以摆放成功的小方块，每一种情况可以由一个二进制数来表示，位数等于行数。我们用f[i,j]f[i,j]f[i,j]来表示第iii列的第jjj个状态的合法方案数，可以知道f[i,j]f[i,j]f[i,j]可以由第i−1i - 1i−1列的状态转移过来，只要第i−1i-1i−1列的第kkk个状态与第iii列的第jjj个状态不重叠（jjj&kkk == 0），且摆放之后不存在连续奇数个0（无法竖着摆放，方案不合法），就代表f[i,j]f[i,j]f[i,j]可以由f[i−1,k]f[i-1,k]f[i−1,k]转移过来，且f[i,j]+=f[i−1,k]f[i,j] +=f[i-1,k]f[i,j]+=f[i−1,k].

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 12, M = 1 << 12;int n, m;
long long f[N][M];
bool st[M];int main()
{while(cin >> n >> m, n || m){memset(f, 0, sizeof f);//预处理奇数个0的状态，将其标记for(int i = 0; i < 1 << n; i ++){st[i] = true;int cnt = 0;//将每一位取出来for(int j = 0; j < n; j ++){if(i >> j & 1){if(cnt & 1){st[i] = false;break;}}else cnt ++;}if(cnt & 1) st[i] = false;}f[0][0] = 1; //第0列只有竖着摆放一种情况for(int i = 1; i <= m; i ++){for(int j = 0; j < 1 << n; j ++){for(int k = 0; k < 1 << n; k ++){//是否可以从i-1列的第k个状态转移过来if((j & k) == 0 && st[j | k]){f[i][k] += f[i - 1][j];}}}}//第m列全0，就代表0~m-1列已经摆放合法cout << f[m][0] << endl;}return 0;
}

最短Hamilton路径

如果我们依次枚举所有点，时间复杂度为O(n!∗n)O(n!*n)O(n!∗n)，因此我们用一个二进制的数来表示所有经过的情况，位数是1代表经过了这个点，我们还需要表示该种情况的终点是那个点，如000111表示经过了0到2号点，但我们并不知道终点是那个点，因此我们用f[i,j]f[i,j]f[i,j]来表示，当前经过了iii个点且终点为jjj最小代价，iii就是我们用来表示所有情况的二进制数。我们要求从0到n−1n -1n−1经过所有点，就代表111...111...111...这个状态且终点为n−1n-1n−1，我们可以思考该状态可以由那种状态转移过来，很显然是011...011...011...这状态，而我们知道011...011...011...这个状态是代表了很多终点不同的路径，我们只要枚举011...011...011...该状态下，以终点kkk结尾的路径再加上kkk到jjj的权重w[k,j]w[k,j]w[k,j]，求最小值即可。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 20, M = 1 << N;int n;
int w[N][N];
int f[M][N];int main()
{cin >> n;memset(w, 0x3f, sizeof w);for(int i = 0; i < n; i ++)for(int j = 0; j < n; j ++)cin >> w[i][j];memset(f, 0x3f, sizeof f);f[1][0] = 0; //初始时只有0号点for(int i = 0; i < 1 << n; i ++){//枚举当前状态的最后一个点jfor(int j = 0; j < n; j ++){if((i >> j) & 1){// i-(1<<j)是上一个状态，即j位上是0for(int k = 0; k < n; k ++){//枚举到上一个状态的终点k，求最小值if(i - (1 << j) >> k & 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);}}}}cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;return 0;
}

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