递推算法-五种典型的递推关系

递推算法
递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

【例1】数字三角形
如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。
1、一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
2、三角形行数小于等于100；
3、三角形中的数字为0，1，…，99；
测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
【算法分析】
此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值，则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int n,i,j,a[101][101];cin>>n;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j];for(i=n-1;i>=1;i--)for(j=1;j<=i;j++){if(a[i+1][j]>=a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j];else a[i][j]+=a[i+1][j+1];}cout<<a[1][1];    return 0;
}

#include<iostream>
using namespace std;
int a[101][101]={0};
int main()
{int n,i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j];for(i=2;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++) {if(a[i-1][j]>=a[i-1][j-1]) a[i][j]+=a[i-1][j];else a[i][j]+=a[i-1][j-1];}int max=0;for(i=1;i<=n;i++)if(a[n][i]>max) max=a[n][i];cout<<max;return 0;
}

【例2】满足F1=F2=1，Fn=F（n-1）+F（n-2）的数列称为斐波那契数列（Fibonacci），它的前若干项是1，1，2，3，5，8，13，21，34……求此数列第n项（n>=3）。
即：
f1=1    （n=1）
   f2=1    （n=2）
   fn=f（n-1） + f（n-2 ）    （n>=3）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{int n,i,f1=1,f2=1,f;scanf("%d",&n);if(n<=2) cout<<1;else {for(i=3;i<=n;i++){f=f1+f2;f1=f2;f2=f;}}printf("%d",f);return 0;
}

有关Fibonacci数列
楼梯台阶问题
问题：楼梯有n个台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上两阶。一共有多少种上楼的方法？
这是一道计数问题。在没有思路时，不妨试着找规律。n=5时，一共有8种方法：
5=1+1+1+1+1
5=2+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=2+2+1
5=2+1+2
5=1+2+2
其中有5种方法第1步走了1阶(背景灰色)，3种方法第1步走了2阶，没有其他可能。
假设f(n)为n个台阶的走法总数，把n个台阶的走法分成两类。
第1类：第1步走1阶，剩下还有n-1阶要走，有f(n-1)种方法。
第2类：第1步走2阶，剩下还有n-2阶要走，有f(n-2)种方法。
这样，就得到了递推式：f(n)=f(n-1)+f(n-2),不要忘记边界情况：f(1)=1,f(2)=2。
把f(n)的前几项列出：1，2，3，5，8，……。

兔子产子问题
问题：把雌雄各一的一对新兔子放入养殖场中。每只雌兔在出生两个月以后，每月产雌雄各一的一对新兔子。试问第n个月后养殖场中共有多少对兔子。
找规律：
第1个月：一对新兔子r1。用小写字母表示新兔子。
第2个月：还是一对新兔子，不过已经长大，具备生育能力了，用大写字母R1表示。
第3个月：R1生了一对新兔子r2，一共2对。
第4个月：R1又生一对新兔子r3，一共3对。另外，r2长大了，变成R2。
第5个月：R1和R2各生一对，记为r4和r5，共5对。此外，r3长成R3。
第6个月：R1、R2和R3各生一对，记为r6～r8，共8对。此外，r4和r5长大。
……
把这些数排列起来：1，1，2，3，5，8，……，事实上，可以直接推导出来递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2):第n个月的兔子由两部分组成，一部分是上个月就有的老兔子f(n-1)，一部分是这个月出生的新兔子f(n-2)(第n个月时具有生育能力的兔子数就等于第n-2个月兔子总数)。根据加法原理，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

【例3】骨牌的铺法
有 2χn的一个长方形方格，用一个1*2的骨牌铺满方格。编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。
【算法分析】
（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。
（2）当n=1时，只能是一种铺法，铺法总数有示为x1=1。
（3）当n=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；

（4）当n=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如上右图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3。
由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。
（5）推出一般规律：对一般的n，要求xn可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为xn-1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为xn-2。从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：
xn=x（n-1）+x（n-2）（n>2）
x1=1
x2=2
xn=xn-1+xn-2就是问题求解的递推公式。任给n都可以从中获得解答。例如n=5，
x3=x2+x1=3
x4=x3+x2=5
x5=x4+x3=8

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{int n,i,f1=1,f2=2,f;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){if(i==1) cout<<1<<endl;if(i==2)    cout<<2<<endl;if(i>2){f=f1+f2;cout<<f<<endl;f1=f2;f2=f;}     }return 0;
}

五种典型的递推关系
Ⅰ.Fibonacci数列
在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibonacci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。
Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？
解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Fx-1对。则：
Fx=Nx+ Fx-1
Nx=F（x-2 ） (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了)
∴ Fx=F（x-1）+F（x-2 ）边界条件：F0=0，F1=1
由上面的递推关系可依次得到
F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
Fabonacci数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“骨牌覆盖”问题。在优选法中，Fibonacci数列的用处也得到了较好的体现。

Ⅱ.Hanoi塔问题
问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图3-11所示。要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：

(1)一次只能移一个圆盘；
(2)圆盘只能在三个柱上存放；
(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？
解：设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h1=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c 柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故h2=3。以此类推，当a柱上有n(n>2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动h（n-1）+1+h（n-1）个盘次。
∴hn=2h（n-1）+1 边界条件：h1=1

Ⅲ.平面分割问题
问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。由图3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。

从这些式子中可以看出an-a（n-1）=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成a（n-1）个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的a（n-1）个区域，一共有a（n-1）+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=a（n-1）+2(n-1)，边界条件是a0=1。

Ⅳ.Catalan数（卡塔兰数）
Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常出现在组合计数问题中。
问题的提出：在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用hn表示，hn即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(图3-14)，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn。

Catalan数是比较复杂的递推关系，尤其在竞赛的时候，选手很难在较短的时间里建立起正确的递推关系。当然，Catalan数类的问题也可以用搜索的方法来完成，但是，搜索的方法与利用递推关系的方法比较起来，不仅效率低，编程复杂度也陡然提高。

Ⅴ.第二类Stirling数（斯特林数）
在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。

【定义2】n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。
下面就让我们根据定义来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。
解：设有n个不同的球，分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：
①bn独自占一个盒子;那么剩下的球只能放在m-1个盒子中,方案数为S2(n-1,m-1)；
②bn与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球bn可以放入其中一个盒子中，方案数为mS2(n-1,m)。
综合以上两种情况，可以得出第二类Stirling数定理：
【定理】S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1) (n>1,m1) 边界条件可以由定义2推导出：
S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。
第二类Stirling数在竞赛中较少出现，但在竞赛中也有一些题目与其类似，甚至更为复杂。

小结：通过上面对五种典型的递推关系建立过程的探讨，可知对待递推类的题目，要具体情况具体分析，通过找到某状态与其前面状态的联系，建立相应的递推关系。
【例7】(1998合肥市竞赛复试第二题)同一平面内的n(n500)条直线，已知有p(p>=2)条直线相交于同一点，则这n条直线最多能将平面分割成多少个不同的区域？
解：这道题目与第一部分中的平面分割问题十分相似，不同之处就在于线条的曲直以及是否存在共点线条。由于共点直线的特殊性，我们决定先考虑p条相交于一点的直线，然后再考虑剩下的n-p条直线。首先可以直接求出p条相交于一点的直线将平面划分成的区域数为2p个，然后在平面上已经有k(k>=p)条直线的基础上，加上一条直线，最多可以与k条直线相交，而每次相交都会增加一个区域，与最后一条直线相交后，由于直线可以无限延伸，还会再增加一个区域。所以fm=fm-1+m (m>p)，边界条件在前面已经计算过了，是fp=2p。虽然这题看上去有两个参数，但是在实际做题中会发现，本题还是属于带一个参数的递推关系。

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