数学分析闭区间套定理_闭区间套定理在数学教学中的一个有趣应用

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闭区间套定理在数学教学中的一个有趣应用

作者：宣渭峰

来源：《青年与社会》

2018

年第

期

摘

要：实数集的不可数性在数学分析、实分析等课程中是一非常基本且重要的结论。传

统的是利用对角线法证明(

，

)开区间中所有实数是不可数的，从而证明全体实数集的不可

数性。文章主要应用实数完备性的六个等价命题之一

——

闭区间套定理，巧妙地证明了实数集

的不可数性，该结论将会激发学生对闭区间套定理的学习兴趣，并有助于学生对闭区间套定理

的理解和掌握。

关键词：闭区间套定理；实数集；不可数

众所周知且容易证明，有理数集是可数的。自然的一个猜想就是，任何无限集合都是可数

的。但是事实并非如此。德国数学家、集合论的创始人康托有一个极有意义的发现，就是全体

实数集(有理数和无理数)是不可数的。也就是说，全体实数与整数或有理数相比有一个根本

的不同。同样是无限集，但实数集属于更高一级类型的无限。为人们所广泛熟悉的连续统，就

是实数集的基数(粗略地说，即实数集元素的个数)。对于这个结论的其中一个应用就是证明

了实数集中除了代数数(任何整系数多项式的复根)还存在超越数(不是代数数的实数，如圆

周率)；因为代数式是可数的，但是实数集不可数。

康托利用对角线方法最早证明了实数集的不可数性。主要思路如下：首先建立实数集与

(

，

)开区间的对等性(即找到两个集合之间一个一一映射)；其次，利用十进制法表示

(

，

)开区间中所有的实数，如果所有这些实数集可数，它们就与正整数集对等，换句话

说，它们就可以排列成一无穷序列。最后，也是最巧妙的部分，就是通过对角线方法构造一个

(

，

)开区间中一个新的实数，但是我们能说明这个新的实数不属于这个无穷序列。这个矛

盾就证明了实数集无法排列成一无穷序列，也就是说，实数集是不可数的。

虽然康托的证明非常经典，但是这个证明涉及到十进制表示法以及新的实数的构造，对于

初学者并不容易掌握这个证明。很自然的问题是，是否存在对角线方法之外的而且更容易为学

生理解的证明？文章将尝试应用闭区间套定理证来明实数集的不可数性。闭区间套定理是数学

分析中一个重要定理，也是实数完备性的六个等价命题之一。但同时也是数学分析教学过程中

的难点之一。其中一个原因，就是闭区间套定理相关的应用以及练习较少(事实上该定理的应

用非常广泛)。我们所做的尝试，一面能帮助学生如何构造闭区间套从而学会应用闭区间套定

理，另一面这个证明充满趣味，将会激发学生对闭区间套定理的学习兴趣，最终有助于学生对

闭区间套定理的理解和掌握。

一、主要结论

首先，让我们来回顾闭区间套定义及闭区间套定理。

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