第五讲一元函数微分学的几何应用

重点
总结
概念
- 极值、最值
- 有最值不一定有极值
- 有极值点不一定有最值点
- 间断点是极值点
- 单调与极值判别
- 单调性
- 极值
- - 必要条件
  - 充分条件
  - - 一阶导变号
    - 一阶导为0，二阶导正负
    - 偶数阶导
凹凸性
- 概念
- - 拐点
- 判定
- - 凹凸性
  - 拐点的必要条件
  - 拐点的判定
渐近线
- 铅锤渐近线
- 水平渐近线
- 斜渐近线
画图

重点

单调性、凹凸性、拐点（5‘）

渐近线（5’）

最值、取值范围（5‘）

做函数图形，含参方程根是重点（5/12’)

总结

极值点与单调性是一对
拐点与凹凸性是一对
好吃与懒做是一对
赵坤与许燚是一对

极限为无穷 → \to →铅锤线
为常数 → \to →水平线
为直线 → \to →斜渐近线

概念

极值、最值

有最值不一定有极值

设 f ( x ) = e x , x ∈ [ 0 , + ∞ ) . \text { 设 } f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in[0,+\infty) \text {. } 设 f(x)=ex,x∈[0,+∞).

只有单侧有定义，不满足双侧有定义，仅有最值

最值点不一定是极值点

有极值点不一定有最值点

f ( x ) = 3 x − x 3 f(x)=3 x-x^{3} f(x)=3x−x3

极值点不一定是最值点

最值点 x 0 ∈ I , 且 x 0 不是端点 , 则必是极值点 \text最值点 x_{0}\in I,\text且 x_{0} \text不是端点,则必是极值点最值点x0∈I,且x0不是端点,则必是极值点

间断点是极值点

单调与极值判别

单调性

f ′ ( x ) > 0 → 单调增 f'(x)>0 \to \text单调增 f′(x)>0→单调增

f ′ ( x ) < 0 → 单调减 f'(x)<0 \to \text单调减 f′(x)<0→单调减

极值

必要条件

只能前推后

设 f ( x ) 在 x = x 0 处可导, 且在点 x 0 处取得极值, 则必有 f ′ ( x 0 ) = 0 \text { 设 } f(x) \text { 在 } x=x_{0} \text { 处可导, 且在点 } x_{0} \text { 处取得极值, 则必有 } f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 设 f(x) 在 x=x0 处可导, 且在点 x0 处取得极值, 则必有 f′(x0)=0

充分条件

一阶导变号

一阶导为0，二阶导正负

f ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ( x ) ≠ 0 f'(x)=0 ,f''(x)\ne0 f′(x)=0,f′′(x)=0

f ′ ′ ( x ) < 0 → 极大值点 f''(x)<0 \to \text极大值点 f′′(x)<0→极大值点

f ′ ′ ( x ) > 0 → 极小值点 f''(x)>0 \to \text极小值点 f′′(x)>0→极小值点

偶数阶导

凹凸性

概念

拐点

凹凸分界点

拐点只需连续
凹凸不分先后
写成 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_{0},f(x_{0})) (x0,f(x0))
分段函数间断点另算

判定

凹凸性

拐点的必要条件

何为必要条件，前推后必存在

f ′ ′ ( x ) = 0 f''(x)=0 f′′(x)=0

拐点的判定

二阶导存在且变号
二阶导为0，三阶导不为0
奇数阶导不为0

渐近线

铅锤渐近线

若 lim ⁡ x → x − f ( x ) = ∞ (或 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = ∞ ) , 则 x = x 0 为一条铅垂渐进线 \text { 若 } \left.\lim _{x \rightarrow x^{-}} f(x)=\infty \text { (或 } \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\infty\right) \text {, 则 } x=x_{0} \text { 为一条铅垂渐进线 } 若 limx→x−f(x)=∞ (或 limx→x0−f(x)=∞), 则 x=x0 为一条铅垂渐进线

水平渐近线

斜渐近线

画图

定义域、奇偶性
找点，画表格
渐近线