正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P5021

题目大意

一棵树找mmm条不重边路径使得最短的那条最长。

解题思路

首先最小的最大显然二分一下答案。之后问题转换为找最多条长度不小于midmidmid的路径。

如果dpdpdp的话需要二维，显然不能胜任本题。

那我们考虑贪心，一旦有长度不小于kkk的我们马上统计入答案，这样就可以节省掉dpdpdp的一维。现在我们的问题就是在一个交界点时对于每条子节点的路径，要么直接结束那条路径，要么往上连接，要么子节点之间连接。

那我们考虑如果一条传上来的路径长度valival_ivali

若vali≥midval_i\geq midvali≥mid那么直接结束改路径。
若vali<midval_i<midvali<mid那么优先考虑连接子节点，因为往上传只能传一条，所以最大贡献为111，但是子节点之间连接的话贡献也为111。

那我们开一个平衡树或multisetmultisetmultiset(我是用multisetmultisetmultiset)储存所有vali<midval_i<midvali<mid的值。每次取出最小的valminval_{min}valmin并在剩下的中寻找一个valk≥mid−valminval_k\geq mid-val_{min}valk≥mid−valmin中最小的一个于其匹配。

然后在找没有匹配中最大的那个向上传就好了。

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
const int N=50100;
struct node{int to,next,w;
}a[N*2];
multiset<int> s[N];
multiset<int>::iterator it;
int n,m,tot,ans,k,l,r,sum;
int ls[N];
void addl(int x,int y,int z)
{a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=z;
}
int dfs(int x,int fa)
{for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa) continue;int val=dfs(y,x)+a[i].w;if(val>=k) ans++;else s[x].insert(val);}int up=0;while(!s[x].empty()){int val=*s[x].begin();if(s[x].size()==1){s[x].erase(s[x].find(val));return max(up,val);}it=s[x].lower_bound(k-val);if(it==s[x].end()) up=max(up,val);else{if(it==s[x].begin()&&s[x].count(*it)==1) it++;ans++;s[x].erase(s[x].find(*it));}s[x].erase(s[x].find(val));}return up;
}
bool check(int x)
{k=x;ans=0;dfs(1,1);if(ans>=m) return true;return false;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<n;i++){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);addl(x,y,z);addl(y,x,z);sum+=z;}l=0;r=sum/m+1;while(l<=r){int mid=(l+r)/2;if(check(mid)) l=mid+1;else r=mid-1;}printf("%d",r);
}

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P5021-赛道修建【平衡树,贪心,二分答案】

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