bzoj 1911: [Apio2010]特别行动队 2011-12-26

1911: [Apio2010]特别行动队

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DescriptionInputOutputSample Input4
-1 10 -20
2 2 3 4 Sample Output9HINT

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_________________________________________

很简单的动规方程： F[i]:=max(F[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c)

用斜率式优化：

原方程展开： F[i]:=max(F[j]+a*s[i]^2-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]^2+b*s[i]-b*s[j]+c)

设g(i,j)为 F[i] 的一个决策

则 g(i,j)-g(i,k)=f[j]+a*s[j]^2-(f[k]+a*s[k]^2)-(b+a*s[i]^2)*(s[j]-s[k])

当决策j 优于决策 k时 g(i,j)-g(i,k)>0

设 y[i]=f[i]+a*s[i]^2 , x[i]=s[i]

所以可化简为 (y[k]-y[j])/(x[i]-x[j])>b+a*s[i]^2

因为 a<0 所以 b+a*s[i]^2 单调递减。

_________________________________________

 1 ProgramStone;
 2 var i,j,head,tail,a,b,c,n:longint;     s,f,cons,sq,que:array[0..1000001]ofint64;
 3 function delhead(i,j,k:longint):boolean;
 4 begin
 5     if cons[i]*(s[j]-s[k])>sq[j]-sq[k] then
 6         exit(true)
 7     else
 8         exit(false);
 9 end;
10 functiondeltail(i,j,k:longint):boolean;
11 begin
12     if(sq[i]-sq[j])*(s[j]-s[k])>(sq[j]-sq[k])*(s[i]-s[j])
13     then exit(true)
14     else exit(false);
15 end;
16 functionmax(a,b:int64):int64;
17 begin
18 ifa>b thenmax:=a elsemax:=b;
19 end;
20 Begin
21 readln(n);
22 readln(a,b,c);
23 fori:=1ton do   read(s[i]);
24 fori:=2ton do   inc(s[i],s[i-1]);
25  head:=1;tail:=0;
26  fori:=1ton do
27 begin
28 cons[i]:=b+2*a*s[i];      while(tail>head)and(delhead(i,que[head],que[head+1])) do
29 inc(head);
30 j:=que[head];
31 f[i]:=max(a*sqr(s[i])+b*s[i]+c,f[j]+a*sqr(s[i]-s[j])+b*(s[i]-s[j])+c);
32 sq[i]:=f[i]+a*sqr(s[i]);      while(tail>head)and(deltail(i,que[tail],que[tail-1])) dodec(tail);      inc(tail);
33 que[tail]:=i;
34 end;
35  writeln(f[n]);
36  end.
37
38

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