三次Hermite插值

2024-05-17 21:47:24

设f(x)f(x)f(x)在节点a≤x0,x1,⋯,xn≤ba\le x_0, x_1,\cdots,x_n\le ba≤x0,x1,⋯,xn≤b处的函数值为f0,f1,...,fnf_0,f_1,...,f_nf0,f1,...,fn，设P(x)为f(x)P(x)为f(x)P(x)为f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的具有一阶导数的插值函数
（1）若要求P(x)P(x)P(x)在[a,b][a,b][a,b]上具有一阶导数（一阶光滑度）
P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′,i=0,1,...,nP(x_i)=f(x_i)=f_i\\ P'(x_i)=f'(x_i)=f', i=0,1,...,nP(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′,i=0,1,...,n
P(x)P(x)P(x)可以是最高次数为2n+1次多项式，两个节点就可以用2×1+1=32\times 1+1=32×1+1=3次多项式作为插值函数。
（2）同样，若要求P(x)在[a,b]P(x)在[a,b]P(x)在[a,b]上具有m阶导数（m阶光滑度），即P(x)P(x)P(x)在节点x0,x1,...,xnx_0,x_1,...,x_nx0,x1,...,xn处必须满足：
P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=fi′⋯P(m)(xi)=f(m)(xi)=fi(m),i=0,1,...,nP(x_i)=f(x_i)=f_i\\ P'(x_i)=f'(x_i)=f'_i\\ \cdots\\ P^{(m)}(x_i)=f^{(m)}(x_i)=f^{(m)}_i, i=0,1,...,nP(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=fi′⋯P(m)(xi)=f(m)(xi)=fi(m),i=0,1,...,n
定义：称满足（1）或（2）式的插值问题为Hermite插值，称满足（1）或（2）式的插值多项式P(x)P(x)P(x)为Hermite插值多项式,记为Hk(x)H_k(x)Hk(x),k为多项式次数。

三次Hermite插值

三次Hermite插值余项

R3(x)=f(4)(ξ)4!(x−x0)2(x−x1)2,x0≤ξ≤x1R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)^2(x-x_1)^2,x_0\le \xi\le x_1R3(x)=4!f(4)(ξ)(x−x0)2(x−x1)2,x0≤ξ≤x1
当f(4)(x)在[x0,x1]f^{(4)}(x)在[x_0,x_1]f(4)(x)在[x0,x1]上存在时，上述公式成立。
#例题

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