[APIO2010] 特别行动队
题目描述
你有一支由n名预备役士兵组成的部队,士兵从1到n编号,要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契考虑,同一支特别行动队中队员的编号应该连续,即为形如(i,i+1,…,i+k)的序列。
编号为i的士兵的初始战斗力为xi,一支特别运动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和,即x=(xi)+(xi+1)+…+(xi+k)。
通过长期的观察,你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为x’:x’=ax^2+bx+c,其中a,b,c是已知的系数(a<0)。
作为部队统帅,现在你要为这支部队进行编队,使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。
例如,你有4名士兵,x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。经验公式中的参数为a=-1,b=10,c=-20。此时,最佳方案是将士兵组成3个特别行动队:第一队包含士兵1和士兵2,第二队包含士兵3,第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4,3,4,修正后的战斗力分别为4,1,4。修正后的战斗力和为9,没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。
输入格式
输入由三行组成。第一行包含一个整数n,表示士兵的总数。第二行包含三个整数a,b,c,经验公式中各项的系数。第三行包含n个用空格分隔的整数x1,x2,…,xn,分别表示编号为1,2,…,n的士兵的初始战斗力。
输出格式
输出一个整数,表示所有特别行动队修正战斗力之和的最大值。
样例数据
样例输入
4
-1 10 -20
2 2 3 4
样例输出
9
数据范围
20%的数据中,n<=1000;
50%的数据中,n<=10000;
100%的数据中,1<=n<=1000000,-5<=a<=-1,|b|<=10000000,|c|<=10000000,1<=xi<=100。
题目分析
被这题坑惨了。
容易写出动规方程
fi=max fj+a(sumi−sumj)2+b(sumi−sumj)+c f_i=max f_j+a(sum_i-sum_j)^2+b(sum_i-sum_j)+c
考虑斜率优化
化简为
fi−asum2i−bsumi−c=fj+asum2j−2asumisumj−bsumj f_i-asum_i^2-bsum_i-c=f_j+asum_j^2-2asum_isum_j-bsum_j
令 fj+asum2j−bsumj=y f_j+asum_j^2-bsum_j =y
sumi=k sum_i=k
2asumj=x 2asum_j=x
因为k单调递增且为正,维护下凸包
当然也可以令 2asumi=k 2asum_i=k sumj=x sum_j=x
但因为a为负,所以k单调递减,维护上凸包
一定要看数据范围啊,a为负
源代码
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {LL num=0,bj=1;char x=getchar();while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-')bj=-1;x=getchar();}while(x>='0'&&x<='9') {num=num*10+x-'0';x=getchar();}return num*bj;
}
LL n,f[1000005],Cost[1000005],sum[1000005],Q[1000005],ans=0,Cut=0;
double Slope(int j,int k) {return (double)(f[j]-f[k])/(k-j);
}
int main() {cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++)Cost[i]=Get_Int();for(int i=1; i<=n; i++)sum[i]=sum[i-1]+Get_Int();for(int i=1; i<n; i++)ans+=(sum[i]-sum[i-1])*(n-i);ans+=Cost[n];int Left=1,Right=1;Q[1]=n;for(int i=n-1; i>=1; i--) {while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1])>=sum[i])Left++; //维护队首(删除非最优决策)int Front=Q[Left];f[i]=f[Front]+sum[i]*(Front-i)-Cost[i];Cut=max(Cut,f[i]);while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right])<=Slope(Q[Right],i))Right--; //维护队尾(维护上凸包性质)Q[++Right]=i;}printf("%lld\n",ans-Cut);return 0;
}
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