【算法导论】生日悖论

生日悖论问题：
不考虑出生年份，问：一个房间中至少多少人，才能使其中两个人生日相同的概率达到50%?
解：假设一年有 n 天，屋子中有 k 人，用整数 1, 2, …, k 对这些人进行编号。假定每个人的生日均匀分布于 n 天之中，且两个人的生日相互独立。
则，设 k 个人生日互不相同为事件A, 则事件 A 的概率为：
P ( A ) = n n ∗ n − 1 n ∗ . . . ∗ n − k + 1 n P(A) = \frac{n}{n} * \frac{n - 1}{n} * ... * \frac{n-k+1}{n} P(A)=nn∗nn−1∗...∗nn−k+1
则，至少有两个人生日相同的概率为：
P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 1 ∗ ( 1 − 1 n ) ∗ . . . ∗ ( 1 − k − 1 n ) P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 1 * (1 - \frac{1}{n})*...*(1 - \frac{k-1}{n}) P(A)=1−P(A)=1−1∗(1−n1)∗...∗(1−nk−1)
由题意可知，令 P ( A ‾ ) ≥ 1 2 P(\overline{A}) \ge \frac{1}{2} P(A)≥21, 即令 1 ∗ ( 1 − 1 n ) ∗ . . . ∗ ( 1 − k − 1 n ) ≤ 1 2 1 * (1 - \frac{1}{n})*...*(1 - \frac{k-1}{n}) \le \frac{1}{2} 1∗(1−n1)∗...∗(1−nk−1)≤21.
由不等式 1 + x ≤ e x 1 + x \le e^x 1+x≤ex可得：
P ( A ) ≤ e − 1 / n e − 2 / n . . . e − ( k − 1 ) / n = e − k ( k − 1 ) / 2 n ≤ 1 / 2 P(A) \le e^{-1/n}e^{-2/n}...e^{-(k-1)/n}=e^{-k(k-1)/2n} \le 1/2 P(A)≤e−1/ne−2/n...e−(k−1)/n=e−k(k−1)/2n≤1/2.
解得，当 k ( k − 1 ) ≥ 2 n l n 2 k(k-1)\ge 2nln2 k(k−1)≥2nln2时，k 个人两个人生日相同的概率达到 50%, 代入 n = 365, 即至少23个人同出一屋，至少有两个人生日相同的概率达到1/2.

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