1 生日悖论问题

1.1 原始问题

一个房间里的人数必须达到多少，才能使两个人生日相同的机会达到50%？不考虑闰年情况，也就是一年按照365天来计算。

解答：

假设房间里的人数是k，我们对其进行编号：1, 2, … , k。

为简单起见，用n表示一年的天数（也就是365天），那么一个人的生日在一年中的哪一天应该是机会均等的，我们用bi表示第i个人的生日，1<=bi<=n，因此，Pr{bi=r}=1/n，对于i=1,…,k；r=1,...,n成立。

这个问题可以通过求补法来求解：

也就是先计算任意两个人的生日都不相同的概率，然后用1去减，就可以算得相应概率。

K个人各有互不相同生日的事件为

Bk = ∩Ai(i=1,..,k)

其中Ai是指对所有的j<i，i与j生日不同的事件。

Bk=Ak ∩Bk-1

ð Pr{Bk}=Pr{Bk-1}Pr{Ak | Bk-1}

初始条件Pr{B1}=Pr{A1}=1.

如果b1,b2,…,bk-1互异，条件概率bk与b1,b2,..bk-1互异的概率为(n-k+1)/n

Pr{Bk}=1*((n-1)/n)* ((n-2)/n)*…((n-k+1)/n)

根据1+x<=e[x]

Pr{Bk}<=e[-1/n-2/n…-(k-1)/n]<=0.5

K(k-1)>=2nln2

当n=365时，解得k>=23。

因此，如果至少有23个人在一个房间里，那么至少有两个人生日相同的概率至少是0.5。

1.2 引申问题

一个房间里必须要有多少人，才能让某人和你生日相同的概率至少为1/2？必须要有多少人，才能让至少有两个人生日为7月4日的概率大于1/2。

第一个问题：

使用与前面类似的分析方法，可以得

1-((n-1)/n)[k-1] >= 0.5

从而解得k>=254人

第二个问题：

同样采用求补法：

分成两种情况考虑问题：

第一种情况：没有一个人生日为7月4日

第二种情况：有一个人生日为7月4日

可得表达式1-((n-1)/n)[k] – (k/n)((n-1)/n)[k-1]>=0.5

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