文章目录

1.1 生日悖论
1.2快速排序
1.3字符串比较
- suiji算法
- 总结
1.4 随机算法
- 证明
- 因为
- end
- 总结啊哈哈哈哈哈哈
1.5 定理
- 定理1.1Markov不等式
- 定理1.2Chebyshev不等式
1.6 抽样
- 上面是基础知识哦
- $下面看看p和\hat p的误差$
- 结论1
- 结论1

1.1 生日悖论

一年nnn天，kkk个人中至少有两个人生日为同一天为AknA_k^nAkn，反例为BknB_k^nBkn，则
Pr(Bnk)=nnn−1n...n−k+1nPr(B_n^k)=\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}...\frac{n-k+1}{n}Pr(Bnk)=nnnn−1...nn−k+1
=∏i=1kn−i+1n=\prod_{i=1}^{k}\frac{n-i+1}{n}=i=1∏knn−i+1
Pr(Ank)=1−∏i=1kn−i+1nPr(A_n^k)=1-\prod_{i=1}^{k}\frac{n-i+1}{n}Pr(Ank)=1−i=1∏knn−i+1

根据
1+x≤ex1+x \le e^x1+x≤ex
得到
1−i−1n≤e−i−1n1-\frac{i-1}{n} \le e^{-\frac{i-1}{n}}1−ni−1≤e−ni−1

所以
Pr(Bnk)≤∑i=1ke−i−1n=e−k(k−1)2nPr(B_n^k) \le \sum_{i=1}^{k}e^{-\frac{i-1}{n}}=e^{\frac{-k(k-1)}{2n}}Pr(Bnk)≤i=1∑ke−ni−1=e2n−k(k−1)

当k(k−1)2n>ln2\frac{k(k-1)}{2n}>ln22nk(k−1)>ln2，即(k≥2nln2)(k \ge \sqrt{2nln2})(k≥2nln2)，Pr(B_n^k)<0.5

当n=365，k≥23n=365，k \ge 23n=365，k≥23，时候就有Pr(Ank)>0.5Pr(A_n^{k})>0.5Pr(Ank)>0.5，

k≥100k \ge 100k≥100，时候就有Pr(Ank)>0.999999Pr(A_n^{k})>0.999999Pr(Ank)>0.999999，

1.2快速排序

这个算法分治的时候选取固定的位置分开成两部分。
平均复杂度O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)，最坏还是O(n2)O(n^2)O(n2)

若每次均匀随机将它分成两部分，则期望时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

1.3字符串比较

x1x2x3...xnx_1x_2x_3...x_nx1x2x3...xn，y1y2y3...yny_1y_2y_3...y_ny1y2y3...yn是否同？

最直接是将每一位发来比较，是O(n)O(n)O(n)。可证确定性算法的通信复杂度就是Ω(n)\Omega(n)Ω(n)。

suiji算法

取2n<p<4n2n<p<4n2n<p<4n的素数ppp，运算在ZpZ_pZp下进行

考多项式f(z)=∑ixizif(z)=\sum_ix_iz^if(z)=i∑xizi
g(z)=∑iyizig(z)=\sum_iy_iz^ig(z)=i∑yizi

转化为f(z)恒等于g(z)么？f(z)恒等于g(z)么？f(z)恒等于g(z)么？

若串相等，则任意z0⇒f(z0)=g(z0)z_0\Rightarrow f(z_0)=g(z_0)z0⇒f(z0)=g(z0)

若串不相等，f(z0)≠g(z0)⇒高概率f(z)≠g(z)f(z_0) \neq g(z_0)\Rightarrow 高概率f(z) \neq g(z)f(z0)=g(z0)⇒高概率f(z)=g(z)

（算一下当串不等的时候，f(z0)≠g(z0)的概率f(z_0) \neq g(z_0)的概率f(z0)=g(z0)的概率）

Pr(f(z0)≠g(z0)∣串不等)=啥呢Pr(f(z_0) \neq g(z_0)|串不等)=啥呢Pr(f(z0)=g(z0)∣串不等)=啥呢

f(z)−g(z)至多n个不同根f(z)-g(z)至多n个不同根f(z)−g(z)至多n个不同根，均匀选取z0∈Zpz_0\in Z_pz0∈Zp，有
Pr(f(z0)≠g(z0)∣串不等)=p−np>12Pr(f(z_0) \neq g(z_0)|串不等)=\frac{p-n}{p}>\frac{1}{2}Pr(f(z0)=g(z0)∣串不等)=pp−n>21

所以算法为：
随机选取z0∈Zpz_0\in Z_pz0∈Zp，发送(f(z0),z0)(f(z_0),z_0)(f(z0),z0)过去

对方计算g(z0)g(z_0)g(z0)并和f(z0)f(z_0)f(z0)比较

总结

一次通信传输小于ppp 的非负整数，约为O(logn)O(logn)O(logn)比特信息。

重复kkk次的正确率至少为1−(12)k1-(\frac{1}{2})^{k}1−(21)k，复杂度O(klogn)O(klog n)O(klogn)

类似有一个检验矩阵 AB=C吗AB = C吗AB=C吗的随机算法。

A,B,C∈Zn×nA,B,C \in Z^{n \times n}A,B,C∈Zn×n
AB=C?????AB=C?????AB=C?????

确定性算法复杂度O(nw)O(n^w)O(nw)，2≤w<2.3732 \le w <2.3732≤w<2.373

1.4 随机算法

m=max⁡1≤i,j≤n{∣aij∣,∣bij∣,∣cij∣}m= \max_{ 1 \le i,j \le n}\{|a_{ij}|,|b_{ij}|,|c_{ij}|\}m=1≤i,j≤nmax{∣aij∣,∣bij∣,∣cij∣}
取素数nm2<p<2nm2nm^2<p<2nm^2nm2<p<2nm2

均匀随机取x⃗∈Zpn\vec x \in Z_p^nx∈Zpn

计算ABx⃗−Cx⃗AB \vec x-C \vec xABx−Cx

按照1.3,我么这样写（先结论哦）

若AB=CAB=CAB=C，
- 则任意x⃗⇒ABx⃗−Cx⃗=0任意\vec x \Rightarrow AB \vec x-C \vec x=0任意x⇒ABx−Cx=0
若AB≠CAB\neq CAB=C，
- ABx⃗−Cx⃗≠0⇒高概率AB≠CAB \vec x-C \vec x\neq 0 \Rightarrow高概率 AB\neq CABx−Cx=0⇒高概率AB=C

证明

还是要计算Pr(ABx⃗−Cx⃗=0∣AB≠C)还是要计算Pr(AB \vec x-C \vec x=0|AB\neq C)还是要计算Pr(ABx−Cx=0∣AB=C)
这个就要小于一个数字了比较好。

=Pr(Dx⃗=0∣D≠0)=Pr(D\vec x= 0|D\neq 0)=Pr(Dx=0∣D=0)

≤Pr(y⃗Tx⃗=0∣y⃗≠0)\le Pr(\vec y^{T}\vec x=0|\vec y\neq 0)≤Pr(yTx=0∣y=0)

为啥要取素数
nm2<p<2nm2nm^2<p<2nm^2nm2<p<2nm2

因为

D=ABD=ABD=AB的元素就属于ZpZ_pZp了，

所以y⃗=0就意味着y⃗必须全部是零，而不会含有p,2p等等的啦\vec y=0就意味着 \vec y必须全部是零，而不会含有p,2p等等的啦y=0就意味着y必须全部是零，而不会含有p,2p等等的啦

end

≤Pr(y⃗Tx⃗=0∣y⃗≠0)\le Pr(\vec y^{T}\vec x=0|\vec y\neq 0)≤Pr(yTx=0∣y=0)

不妨设y⃗的第n个分量≠0，则必∈Zp\{0}\vec{y}的第n个分量\neq0，则必\in Z_p\backslash\{0\}y的第n个分量=0，则必∈Zp\{0}。

那么你随便给我一个x⃗\vec xx，如果x⃗\vec xx的前面n−1n-1n−1个分量都确定了，。。

那么为了让y⃗Tx⃗=0\vec y^{T}\vec x=0yTx=0，x⃗\vec xx的第nnn个分量必须定下来，相当于解一个一元一次方程，有且仅有1解所以

Pr(y⃗Tx⃗=0∣y⃗≠0)=1pPr(\vec y^{T}\vec x=0|\vec y\neq 0)= \frac{1}{p}Pr(yTx=0∣y=0)=p1

总结啊哈哈哈哈哈哈

每次就是O(n2)O(n^2)O(n2)，重复kkk次，正确率至少1−1pk1-\frac{1}{p^k}1−pk1，O(kn2)O(kn^2)O(kn2)

1.5 定理

定理1.1Markov不等式

X≥0X\ge 0X≥0，给个数c>0给个数c>0给个数c>0
则Pr(X≥c)≤E(X)cPr(X \ge c)\le \frac{E(X)}{c}Pr(X≥c)≤cE(X)
证明：
Pr(X≥c)=∫c+∞p(x)dxPr(X \ge c)=\int_c^{+\infty}p(x)dxPr(X≥c)=∫c+∞p(x)dx
≤1c∫c+∞xp(x)dx\le\frac{1}{c}\int_c^{+\infty}xp(x)dx≤c1∫c+∞xp(x)dx

≤1c∫0+∞xp(x)dx=E(X)c\le \frac{1}{c}\int_0^{+\infty}xp(x)dx = \frac{E(X)}{c}≤c1∫0+∞xp(x)dx=cE(X)

定理1.2Chebyshev不等式

X≥0X\ge 0X≥0，给个数c>0给个数c>0给个数c>0
则Pr(∣X−E(x)∣≥c)≤var(X)c2Pr(|X-E(x)| \ge c)\le \frac{var(X)}{c^2}Pr(∣X−E(x)∣≥c)≤c2var(X)

证明：
想一下咋用1.1来证明他呢？？考虑到var(X)var(X)var(X)里面有平方！

上面变为Pr((X−E(X))2≥c2)Pr((X-E(X))^2\ge c^2 )Pr((X−E(X))2≥c2)
≤E((X−E(X))2)c2\le \frac{E((X-E(X))^2)}{c^2}≤c2E((X−E(X))2)
简单吧！

1.6 抽样

U中独立均匀采样，目标集合T，∣U∣，∣T∣不知道U中独立均匀采样，目标集合T，|U|，|T|不知道U中独立均匀采样，目标集合T，∣U∣，∣T∣不知道
概率p=∣T∣∣U∣概率p=\frac{|T|}{|U|}概率p=∣U∣∣T∣

采样值0或1

得到独立同分布X1，X2,X3....Xn,X_1，X_2,X_3....X_n,X1，X2,X3....Xn,
Pr(Xi=1)=p，Pr(Xi=0)=1−pPr(X_i=1)=p，Pr(X_i=0)=1-pPr(Xi=1)=p，Pr(Xi=0)=1−p。

令估计值p^=∑inXin令估计值\hat p=\frac{\sum_i^{n}X_i}{n}令估计值p^=n∑inXi
那么E(p^)=p那么E(\hat p)=p那么E(p^)=p
var(p^)=p−p2nvar(\hat p)=\frac{p-p^2}{n}var(p^)=np−p2

上面是基础知识哦

下面看看p和p^的误差下面看看p和\hat p的误差下面看看p和p^的误差

计算Pr(∣p^−p∣≤120)=计算Pr(|\hat p-p|\le \frac{1}{20}) =计算Pr(∣p^−p∣≤201)=
Pr(∣p^−E(p^)∣≤120)=Pr(|\hat p-E(\hat p)|\le \frac{1}{20}) =Pr(∣p^−E(p^)∣≤201)=
为了使用切比雪肤为了使用切比雪肤为了使用切比雪肤
1−Pr(∣p^−E(p^)∣≥120)1-Pr(|\hat p-E(\hat p)|\ge \frac{1}{20})1−Pr(∣p^−E(p^)∣≥201)
≥1−400var(p^)=1−400p(1−p)n\ge 1-400var(\hat p)=1-\frac{400p(1-p)}{n}≥1−400var(p^)=1−n400p(1−p)
>1−100n>1-\frac{100}{n}>1−n100
为了让上面很大，让n很大就好啦为了让上面很大，让n很大就好啦为了让上面很大，让n很大就好啦

结论1

当n=1000时，上面≥90%当n=1000时，上面\ge 90\%当n=1000时，上面≥90%

当n=2000时，上面大于95%当n=2000时，上面大于95\%当n=2000时，上面大于95%

表明n=2000时，p∈(p^−5%,p^+5%)的置信度95%表明n=2000时，p \in (\hat p-5\%,\hat p+5\%)的置信度95\%表明n=2000时，p∈(p^−5%,p^+5%)的置信度95%

结论1

绝对误差，如果p较大，用切比雪肤分析够了

p较小，需要其他技术分析相对误差

\
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