2019牛客暑期多校训练营（第七场）D Number——实系数多项式因式分解定理

2024-04-11 15:43:06

前置知识

代数基本定理

定理：每个次数 ≥ 1 复系数多项式在复数域中至少有一个跟。

由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。（只要不断把多项式除以(x-x_a)，即可从有一个根推出有n个根）

实系数多项式因式分解定理

定理：每个次数 ≥ 1 实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式和二次不可约多项式的乘积。

证：

对 f(x) 的次数用数学归纳法。

n=1时，一次多项式显然不可约，定理成立；

假设对次数 ≤ n 时定理成立，

设 f(x) 是 n 次多项式，由代数基本定理，f(x) 有一复根 α.

如果 α 是实数，那么 $f(x) = (x - \alpha )f_1(x)$，其中 $f_1(x)$ 为 n-1 次实系数多项式；

如果 α 不是实数，那么 $\bar \alpha$ 也是 f(x) 的根，于是

$f(x) = (x - \alpha )(x - \bar \alpha ) f_2(x) \\= [x^2 - (\alpha + \bar \alpha) x + a \bar \alpha]f_2(x)$，其中 $x^2 - (\alpha + \bar \alpha) x + a \bar \alpha$ 是实系数二次不可约多项式，从而 $f_2(x)$ 是 n-2 次实系数多项式。

题目

给出一个多项式，判断在实数范围内是否可分解。

分析：

由上面定理可知，在实数范围内任一不可约多项式只能是一次或二次的。

除此之外，显然有奇数次实系数多项式至少有一个实根。

（测试中含有常数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, a[25];int main()
{int T;scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%d", &n);for(int i = n; i >= 0;i--)  scanf("%d", &a[i]);if(n <= 1 || (n == 2 && a[1] * a[1] - 4 * a[2] * a[0] < 0))  printf("Yes\n");else  printf("No\n");}return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/lfri/p/11326606.html

2019牛客暑期多校训练营（第七场）D Number——实系数多项式因式分解定理相关推荐

【2019牛客暑期多校训练营（第二场） - H】Second Large Rectangle（单调栈，全1子矩阵变形）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/H 来源:牛客网题目描述 Given a N×MN \times MN×M binary matrix. ...
2019牛客暑期多校训练营（第一场）E-ABBA（dp）
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/E 来源:牛客网时间限制:C/C++ 2秒,其他语言4秒空间限制:C/C++ 524288K,其他语言1048 ...
2019牛客暑期多校训练营（第一场）
传送门参考资料: [1]:官方题解(提取码:t050 ) [2]:标程(提取码:rvxr ) [3]:牛客题解汇总 A.Equivalent Prefixes(单调栈) •题意定义两个数组 u,v ...
2019牛客暑期多校训练营（第一场） A Equivalent Prefixes ( st 表 + 二分+分治)
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/A 来源:牛客网 Equivalent Prefixes 时间限制:C/C++ 2秒,其他语言4秒空间限制:C/ ...
【2019牛客暑期多校训练营（第二场）- E】MAZE（线段树优化dp，dp转矩阵乘法，线段树维护矩阵乘法）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/E?&headNav=acm 来源:牛客网 Given a maze with N rows an ...
【2019牛客暑期多校训练营（第二场）- F】Partition problem（dfs，均摊时间优化）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/F 来源:牛客网 Given 2N people, you need to assign each of ...
【2019牛客暑期多校训练营（第二场） - D】Kth Minimum Clique（bfs，tricks）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/D 来源:牛客网 Given a vertex-weighted graph with N vertice ...
【2019牛客暑期多校训练营（第一场） - A】Equivalent Prefixes（单调栈，tricks）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/A 来源:牛客网 Two arrays u and v each with m distinct elem ...
【2019牛客暑期多校训练营（第一场） - H】XOR（线性基，期望的线性性）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/H 来源:牛客网 Bobo has a set A of n integers a1,a2,-,ana1, ...
2019牛客暑期多校训练营（第九场）H Cutting Bamboos（主席树+二分）
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/889/H 来源:牛客网题目描述 There are n bamboos arranged in a line. The ...

最新文章

热门文章