【2019牛客暑期多校训练营（第一场） - H】XOR（线性基，期望的线性性）

题干：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/H
来源：牛客网

Bobo has a set A of n integers a1,a2,…,ana1,a2,…,an.
He wants to know the sum of sizes for all subsets of A whose xor sum is zero modulo (109+7)(109+7).
Formally, find (∑S⊆A,⊕x∈Sx=0|S|)mod(109+7)(∑S⊆A,⊕x∈Sx=0|S|)mod(109+7). Note that ⊕⊕ denotes the exclusive-or (XOR).

输入描述:

The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.The first line of each test case contains an integer n.
The second line contains n integers a1,a2,…,ana1,a2,…,an.* 1≤n≤1051≤n≤105
* 0≤ai≤10180≤ai≤1018
* The number of test cases does not exceed 100.
* The sum of n does not exceed 2×1062×106.

输出描述:

For each test case, print an integer which denotes the result.

示例1

输入

复制

1
0
3
1 2 3
2
1000000000000000000 1000000000000000000

输出

复制

1
3
2

题目大意：

给你n个数字，然后让你求所有满足异或和为0的子集的大小之和。

解题报告：

根据期望的线性性(Orz)，转化一下题意：相当于求每个数出现在子集中的次数之和。

那么如何求每个的合法出现次数呢？对于每个数x的出现次数，也就是这个数x必选的情况下，有多少种选择方案可以让剩余n-1个数凑出x来。然后就可以 $x\oplus x=0$

先对n个数求线性基b1，设线性基大小为r，可以分别计算线性基内数的贡献和线性基外数的贡献

1.线性基外：共n-r个数，枚举每个数，让他必选，将线性基外剩余的 $n-r-1$ 个数任意排列（也可不选），则共有 $2^{n-r-1}$ 种方案，每种方案再异或x的结果，能被刚刚求出的那组线性基唯一的异或出来，所以每个数的贡献为： $1\times2^{n-r-1} = 2^{n-r-1}$ 。又因为一共有n-r个数，所以线性基外的数的贡献为： $(n-r)\times2^{n-r-1}$

2.线性基内：依旧是枚举每个数x（注意枚举的x是a数组中的数而不是b1中的数），求出剩余n-1个数凑出x的方案数，做法是这样的：将所有剩余的n-1个数再求一次线性基，设为b2，分两种情况：

(1) x不能被b2异或出。那么显然x不能在任意一个集合中出现，x的贡献为0。

(2) x可以被b2异或出。此时b2的大小必定也为r，因为b2已经能表示所有n个数了。那么在除去x和b2的情况下，剩余n-r-1个数显然也是任意排列，x贡献为 $2^{n-r-1}$ 。

对于在线性基内的方案统计时，还有另一种理解：因为这个数x在线性基内，也就是说他代表了二进制中的一个Bit位在线性基中的存在，那么我们要凑出这个x的话（注意x依旧是原数，而不是线性基内的数字），就必须要找一个可以代表这个Bit位的数字来替代他，也就是：用除去x的剩余n-1个数，重构一组线性基后，如果基的大小仍为b1.r，则说明x在原基b1中不是必须的，可以被替代，此时也才说明x对答案做出了贡献，不然的话只有x能代表这个Bit，那他代表给谁看？和谁去异或成0？所以对答案没有任何贡献。所以写代码最后一部分的时候，既可以这样写：if(b3.r == b1.r) 也可以这样写：if(b3.ins(a[i])==0)也就是说如果插不进去a[i]了，就代表他对答案做出了贡献，因为新基可以凑出所有数字。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define F first
#define S second
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int MAX = 2e5 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
int n,top;
ll a[MAX],ans,tmp,b[MAX];
struct Node {ll Base[66];int r;void init() {memset(Base,0,sizeof Base);r=0;}bool ins(ll x) {for(int i = 62; i>=0; i--) {if(x & (1LL<<i)) {if(Base[i] == 0) {Base[i] = x;r++;return 1;}else x ^= Base[i];}if(x == 0) return 0;}return 0;}
} b1,b2,b3;
ll qpow(ll a,ll k) {ll res = 1;while(k) {if(k&1) {res = (res * a) % mod;}k>>=1;a = (a * a)%mod;}return res;
}
int main()
{while(~scanf("%d",&n)) {ans = tmp = 0;b1.init();b2.init();top=0;for(int i = 1; i<=n; i++) scanf("%lld",a+i);for(int i = 1; i<=n; i++) {if(b1.ins(a[i])) b[++top] = a[i];else b2.ins(a[i]);}if(n == b1.r) {printf("0\n");continue;}ans = (n-b1.r) * qpow(2,n - b1.r - 1);for(int i = 1; i<=top; i++) {b3 = b2;for(int j = 1; j<=top; j++) {if(i == j) continue;b3.ins(b[j]);}if(b3.r == b1.r) tmp++;}ans = ans + tmp*qpow(2,n - b1.r - 1);printf("%lld\n",ans%mod);}  return 0 ;
}

AC代码2：（咖啡鸡的代码，也不知道是维护了个啥）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+3;
const ll M=1000000007;
ll v;
struct base{ll r[64],o[64];bool ins(ll x){bool flag=0;ll tmp=0;for (int i=62;i>=0;i--)if (x>>i){if (!r[i]) o[i]=tmp|(1ll<<i),r[i]=x,flag=1;x^=r[i]; tmp^=o[i];if (!x) break;}if (!flag){v|=tmp;}return flag;}void clear(){for (int i=0;i<64;i++) r[i]=0,o[i]=0;}
}f;
ll pow_(ll x,ll y){ll ret=1;while (y){if (y&1) ret=ret*x%M;x=x*x%M; y>>=1;}return ret;
}
int n,w;
ll a[maxn],ans;int main(){while (scanf("%d",&n)==1){for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);for (int i=0;i<64;i++) v=0; f.clear(); ans=w=0;for (int i=1;i<=n;i++){ans+=!f.ins(a[i]);}for (int i=0;i<64;i++) {if (v&(1ll<<i)) ++ans;if (f.r[i]) ++w;}cout << ans*pow_(2ll,n-1-w)%M << endl;}return 0;
}