【2019牛客暑期多校训练营（第二场） - D】Kth Minimum Clique（bfs，tricks）

题干：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/D
来源：牛客网

Given a vertex-weighted graph with N vertices, find out the K-th minimum weighted clique.

A subset of vertices of an undirected graph is called clique if and only if every two distinct vertices in the subset are adjacent. The weight of a clique is the summation of the weight of vertices in it.

输入描述:

The first line of input contains two space-separated integers N, K.
The second line of input contains N space-separated integers wiw_iwi representing the weight of each vertex.
Following N lines each contains N characters eije_{ij}eij. There's an edge between vertex i and vertex j if and only if eij="1"e_{ij} =\texttt{"1"}eij="1".1≤N≤1001 \leq N \leq 1001≤N≤100
1≤K≤1061 \leq K \leq 10^61≤K≤106
0≤wi≤1090 \leq w_i \leq 10^90≤wi≤109
eij∈"01"e_{ij} \in \texttt{"01"}eij∈"01"
eii="0"e_{ii} = \texttt{"0"}eii="0"
eij=ejie_{ij} = e_{ji}eij=eji

输出描述:

Output one line containing an integer representing the answer. If there's less than K cliques, output "-1"\texttt{"-1"}"-1".

示例1

输入

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输出

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说明

An empty set is considered as a clique.

题目大意：

定义一个团的权值就是团中点的权值和。给定一个n个点的图(n<=100)，求第K大的团。（K<=1e6）

解题报告：

其实是考虑到：因为是个团，而不是连通图，所以会有一些性质。

其实看到这题，第一反应肯定是2^100枚举，这样肯定是没错的。考虑时间耗费在哪里了呢？因为有一些根本不是团的情况也被你搜索到了。所以考虑优化：直接在团的基础上进行搜索枚举，但是还有个问题，那就是他万一是个完全图，那还是2^100次方呀。

但是还好，这题告诉你了K<=1e6，所以肯定要在这上面做点文章。还是按照刚刚的想法的话肯定是搜索所有的团，然后排个序输出第k个值，但是如果是完全图的话，那团的大小就有2^100个，肯定不能搜索完所有的团，那么考虑，K既然是已知的了，可不可以只搜索到前K大？所以思路就是优先队列的bfs，直接搜到K个就停止，这样总复杂度就是nlogn了。

注意这题有个小坑，那就是不bfs的过程中，加入新节点的时候需要去重，不然肯定能WA啊、、为了处理这个事情有好多种办法，可以直接HASH，也可以用代码中的方法：记录最后个有效节点是哪个节点，下次直接在这个往后面搜索。原理是因为你bfs每一层的时候都保证了只加入一个节点，所以你在此时前面的点都判断过了，所以不需要再加入了。但是你如果不这样判断一波的话，肯定就会有重复的团被算了多次。

贴一个题解：

我们发现我们很难直接高效的算出一张图的第k小团的权值。因此，我们考虑将这个问题转化一下。我们发现，因为权值都是正数，因此如果在一个已知的团上能够再增加一个新结点形成团，那么新的团的权值必定增加。因此，我们如果从空集不断往上去增加新的结点构造成团，那么在这个过程中，权值一定是不断增加的。因此我们只需要从小到大拓展团，并将当前的团的权值丢进一个优先队列里进行维护，最后不断获取到第k小的权值即可。至此，我们需要考虑如何能够高效的在一个团上增加新的结点。我们还可以考虑每次只加当前点后面的点，避免重复。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define FF first
#define SS second
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int MAX = 100 + 5;
struct Node {bitset<105> bs;ll w;int last;Node(){}Node(bitset<105> bs,ll w,int last):bs(bs),w(w),last(last){}bool operator<(const Node b)const {return w > b.w;}
};
bitset<105> a[MAX];
int n,k,val[MAX];
ll bfs() {priority_queue<Node> pq;bitset<105> bb(0);k--;pq.push(Node(bb,0,0));while(pq.size()) {Node cur = pq.top();pq.pop();if(k == 0) return cur.w;k--;for(int i = cur.last+1; i<=n; i++) {if(cur.bs[i])continue;//==1????if((cur.bs & a[i]) == cur.bs) {cur.bs[i] = 1;pq.push(Node(cur.bs,cur.w + val[i],i));cur.bs[i] = 0;}}  }return -1;
}
int main()
{cin>>n>>k;for(int i = 1; i<=n; i++) cin>>val[i];for(int x,i = 1; i<=n; i++) {for(int j = 1; j<=n; j++) {scanf("%1d",&x);if(x == 1) a[i][j]=1;}}ll ans = bfs();printf("%lld\n",ans);return 0 ;
}

错误代码：

错误原因就是因为刚开始忘记去重了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define FF first
#define SS second
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int MAX = 100 + 5;
struct Node {bitset<105> bs;ll w;Node(){}Node(bitset<105> bs,ll w):bs(bs),w(w){}bool operator<(const Node b)const {return w > b.w;}
};
bitset<105> a[MAX];
int n,k,val[MAX];
ll bfs() {priority_queue<Node> pq;bitset<105> bb(0);k--;pq.push(Node(bb,0));while(pq.size()) {Node cur = pq.top();pq.pop();if(k == 0) return cur.w;k--;for(int i = 1; i<=n; i++) {if(cur.bs[i]) continue;//==1????if((cur.bs & a[i]) == cur.bs) {cur.bs[i] = 1;pq.push(Node(cur.bs,cur.w + val[i]));cur.bs[i] = 0;}}}return -1;
}
int main()
{cin>>n>>k;for(int i = 1; i<=n; i++) cin>>val[i];for(int x,i = 1; i<=n; i++) {for(int j = 1; j<=n; j++) {scanf("%1d",&x);if(x == 1) a[i][j]=1;}}ll ans = bfs();printf("%lld\n",ans);return 0 ;
}