其次线性方程组,行列式为0,一定有非0解.

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对于齐次线性方程组,行列式为0,则一定有非零解.

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{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=0\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_{1}+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_{n}=0\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_{n}=0\\ \vdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_{n}=0 \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=0

我们改写这个方程为矩阵的形式为

(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)(x1x2⋮xn)=0\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)=0⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=0

我们可以把矩阵改写称为列向量形式

(a1a2⋯an)(x1x2⋮xn)=0⇒a1x1+a2x2+⋯+anxn=0\left( \begin{array}{cccc} \mathbf{a_1} & \mathbf{a_2} & \cdots & \mathbf{a_n} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)=0 \Rightarrow \mathbf{a_1}x_1+\mathbf{a_2}x_2+\cdots+\mathbf{a_n}x_n=0(a1a2⋯an)⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=0⇒a1x1+a2x2+⋯+anxn=0

从线性代数的线性相关和非线性相关的知识里面,我们可以得到.
如果(a1a2⋯an)\left( \begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array} \right)(a1a2⋯an)非线性相关,那么(x1x2⋯xn)\left( \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{array} \right)(x1x2⋯xn)只能都取0.只有当(a1a2⋯an)\left( \begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array} \right)(a1a2⋯an)线性相关的时候,(x1x2⋯xn)\left( \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{array} \right)(x1x2⋯xn)才可以有非零元素.

而如果(a1a2⋯an)\left( \begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array} \right)(a1a2⋯an)线性相关,那么下面的行列式就等于0

∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=0\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right|=0∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0

于是原命题得证.

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