lagrange 插值实现

import  numpy as np #数值运算
import sympy
import matplotlib.pyplot as pltclass LagrangeInterpolation:"""拉格朗日插值"""def __init__(self,x,y):"""拉格朗日必要参数的初始化以及健壮性的检测:param x: 已知数据x坐标点:param y: yi知数据y坐标点"""self.x=np.asarray(x,dtype=np.float)self.y=np.asarray(y,dtype=np.float)# 类型转换，数据结构采用arrayif len(self.x)>1 and len(self.x) == len(self.y):self.n = len(self.x) #已知离散数据点的个数else:raise ValueError("插值数据（x,y）维度不匹配！")self.polynomial = None #最终的插值多项式，符号表示self.poly_coefficient = None#最终插值多项式的系数向量，幂次从高到底self.coefficient_order =None#对应多项式系数的阶次self.y0 =None# 所求插值点的值，单个值或向量def fit_interp(self):"""核心算法：生成拉格朗日多项式:return:"""t =sympy.Symbol("t")#定义符号变量self.polynomial=0.0#插值多项式实例化for i in range(self.n):#针对每个数据点构造插值基函数basis_fun=self.y[i] #插值基函数for j in range(i):basis_fun *=(t-self.x[j])/(self.x[i]-self.x[j])for j in range(i+1,self.n):basis_fun *= (t - self.x[j]) / (self.x[i] - self.x[j])self.polynomial+=basis_fun  #插值多项式累加#插值多项式特征self.polynomial=sympy.expand(self.polynomial)#多项式展开polynomial = sympy.Poly(self.polynomial,t)#根据多项式构造多项式对象self.poly_coefficient = polynomial.coeffs() #获取多项式系数self.coefficient_order=polynomial.monoms() #获取多项式系数对应阶次# print(self.polynomial)def cal_interp_x0(self,x0):"""计算所给定的插值点的数值，即插值:param x0: 所求插值的x坐标:return:"""x0 = np.asarray(x0,dtype=np.float)n0 = len(x0)# 插值点个数y_0=np.zeros(n0) #存储插值点x0所对应的插值t = self.polynomial.free_symbols.pop() #返回值是集合，获取插值多项式的自由变量for i in range(n0):y_0[i] = self.polynomial.evalf(subs={t:x0[i]})# 用x0替换多项式中的tself.y0 = y_0return  y_0def plt_interpolation(self,x0=None,y0=None):"""可视化插值图像和所求的插值点:return:"""plt.figure(figsize=(8,6))plt.plot(self.x,self.y,"ro",label = "Interpolation base points")xi = np.linspace(min(self.x),max(self.x),100) #模拟100个值yi = self.cal_interp_x0(xi)plt.plot(xi,yi,"b--",label = "Interpolation polynomisl")if x0 is not None and y0 is not None:plt.plot(x0, y0, "g*", label="Interpolation point values")plt.legend()plt.xlabel("x",fontdict={"fontsize":12})plt.ylabel("y", fontdict={"fontsize": 12})plt.title("Lagrange interpolation polynomial and values",fontdict={"fontsize":14})plt.grid(ls=":")plt.show()

主函数如下：

if __name__ == "__main__":x0 = np.array([34,23,45,150])x = np.linspace(0,180,4,endpoint=True)y=np.array([0,0.45,3.6,12.15])lag_interp = LagrangeInterpolation(x=x,y=y)lag_interp.fit_interp()print("拉格朗日多项式如下：")print(lag_interp.polynomial)print("拉格朗日多项式系数和对应阶次：")print(lag_interp.poly_coefficient)print(lag_interp.coefficient_order)y0 = lag_interp.cal_interp_x0(x0)print("所求插值点的值是:",y0)print(lag_interp.y0)lag_interp.plt_interpolation(x0,y0)

结果如下：

龙格现象：

函数f(x) = 1/（1+x*x）

def fun(x):"""龙格函数:param x: 标量 向量 矩阵:return:"""return 1/(1+x**2)

主函数：

if __name__ =="__main__":plt.figure(figsize=(8,6))for n in range(3,12,2):x=np.linspace(-5,5,n,endpoint=True)y=fun(x) #向量化运算量，不需要循环lag_interp = LagrangeInterpolation(x,y)lag_interp.fit_interp()xi = np.linspace(-5,5,100,endpoint=True)yi= lag_interp.cal_interp_x0(xi)plt.plot(xi,yi,lw=0.7,label="n=%d"%(n-1))plt.plot(xi,fun(xi),'k-',label=r"$\frac{data_lagrange}{data_lagrange+x^{2}}\qquad$")plt.xlabel("x",fontdict={"fontsize":12})plt.ylabel("y",fontdict={"fontsize":12})plt.title("Runge phenomenon of lagrange interpolation of different orders",fontdict={"fontsize":14})plt.legend()plt.show()

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lagrange 插值实现和龙格现象

lagrange 插值实现

结果如下：

龙格现象：

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