【LOJ3047】「ZJOI2019」浙江省选

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【思路要点】

对于 M = 1 M=1 M=1 的情况，问题即为求半平面交。

考虑 M M M 更大的情况，以 M = 2 M=2 M=2 为例。

首先去掉排名可以为第一的人，则要想取得第二，必须在剩下的人中获得第一，对剩下的人做一次半平面交。

每个排名可以为第一的人领先半平面交上的所有人的 x x x 一定是一个非空区间，可以在形成的凸包上直接二分找到这个区间 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri] 。则要想取得第二，必须满足在半平面交上的横坐标区间至少存在一个整点被至多一个 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri] 覆盖。

对端点进行差分 + + + 排序的处理即可。

时间复杂度 O ( N M L o g N ) O(NMLogN) O(NMLogN) ，代码细节较多。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const long long INF = 1e18;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); }
template <typename T> void read(T &x) {x = 0; int f = 1;char c = getchar();for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {write(x);puts("");
}
struct frac {__int128 x, y; };
struct info {int k, home; ll b; };
inline ll floor(const frac &a) {return a.x / a.y; }
inline ll ceil(const frac &a) {return a.x / a.y + (a.x % a.y != 0); }
inline bool operator < (const frac &a, const ll &b) {return a.x < a.y * b; }
inline bool operator < (const frac &a, const frac &b) {return a.x * b.y < a.y * b.x; }
inline frac make(const ll &x, const ll &y) {assert(y != 0);if (y > 0) return (frac) {x, y};else return (frac) {-x, -y};
}
inline frac inter(const info &a, const info &b) {return make(b.b - a.b, a.k - b.k);
}
int n, m, top, ans[MAXN];
info a[MAXN], s[MAXN];
bool cmp(info a, info b) {if (a.k == b.k) return a.b > b.b;else return a.k < b.k;
}
void halfplane() {top = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (ans[a[i].home] != -1) continue;while (top >= 2 && inter(a[i], s[top - 1]) < inter(s[top], s[top - 1])) top--;if (top == 1 && a[i].b > s[top].b) top--;if (top == 0 || a[i].k != s[top].k) s[++top] = a[i];}
}
int main() {read(n), read(m);for (int i = 1; i <= n; i++) {int x; ll y; read(x), read(y);a[i] = (info) {x, i, y};ans[i] = -1;}sort(a + 1, a + n + 1, cmp);for (int t = 1; t <= m; t++) {halfplane();if (top == 0) break;s[0] = s[1], s[0].k = 0;vector <pair <ll, int>> events; int now = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (ans[a[i].home] != -1) {int l = 0, r = top;while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2;if (a[i].k <= s[mid].k || inter(a[i], s[mid - 1]) < inter(s[mid], s[mid - 1])) r = mid - 1;else l = mid;}if (l == 0) now++;else events.emplace_back(floor(inter(a[i], s[l])) + 1, 1);if (a[i].k < s[top].k) {l = 1, r = top + 1;while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (a[i].k >= s[mid].k || (mid != top && inter(s[mid], s[mid + 1]) < inter(a[i], s[mid + 1]))) l = mid + 1;else r = mid;}events.emplace_back(ceil(inter(a[i], s[l])), -1);}}sort(events.begin(), events.end());unsigned pos = 0;for (int i = 1; i <= top; i++) {ll l = ceil(inter(s[i], s[i - 1])),r = i == top ? INF : floor(inter(s[i], s[i + 1]));if (l > r) continue;int Min = now;if (pos < events.size() && events[pos].first == l) Min = t;while (pos < events.size() && events[pos].first <= r) {ll val = events[pos].first;while (pos < events.size() && events[pos].first == val) now += events[pos++].second;chkmin(Min, now);}if (Min == t - 1) ans[s[i].home] = t;}}for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d ", ans[i]);return 0;
}

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