构造二叉搜索树，一不小心就平衡了
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108.将有序数组转换为二叉搜索树

将一个按照升序排列的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树。

本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

示例:

思路

题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。这和转换为一棵普通二叉搜索树有什么差别呢？

其实这里不用强调平衡二叉搜索树，数组构造二叉树，构成平衡树是自然而然的事情，因为大家默认都是从数组中间位置取值作为节点元素，一般不会随机取，「所以想构成不平衡的二叉树是自找麻烦」。

在二叉树：构造二叉树登场！和二叉树：构造一棵最大的二叉树中其实已经讲过了，如果根据数组构造一颗二叉树。

「本质就是寻找分割点，分割点作为当前节点，然后递归左区间和右区间」。

本题其实要比二叉树：构造二叉树登场！ 和 二叉树：构造一棵最大的二叉树简单一些，因为有序数组构造二叉搜索树，寻找分割点就比较容易了。

分割点就是数组中间位置的节点。

那么为问题来了，如果数组长度为偶数，中间节点有两个，取哪一个？

取哪一个都可以，只不过构成了不同的平衡二叉搜索树。

例如：输入：[-10,-3,0,5,9]

如下两棵树，都是这个数组的平衡二叉搜索树：

如果要分割的数组长度为偶数的时候，中间元素为两个，是取左边元素 就是树1，取右边元素就是树2。

「这也是题目中强调答案不是唯一的原因。理解这一点，这道题目算是理解到位了」。

递归

递归三部曲：

• 确定递归函数返回值及其参数

删除二叉树节点，增加二叉树节点，都是用递归函数的返回值来完成，这样是比较方便的。

相信大家如果仔细看了二叉树：搜索树中的插入操作和二叉树：搜索树中的删除操作，一定会对递归函数返回值的作用深有感触。

那么本题要构造二叉树，依然用递归函数的返回值来构造中节点的左右孩子。

再来看参数，首先是传入数组，然后就是左下表left和右下表right，我们在二叉树：构造二叉树登场！中提过，在构造二叉树的时候尽量不要重新定义左右区间数组，而是用下表来操作原数组。

所以代码如下：

// 左闭右闭区间[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right)

这里注意，「我这里定义的是左闭右闭区间，在不断分割的过程中，也会坚持左闭右闭的区间，这又涉及到我们讲过的循环不变量」。

在二叉树：构造二叉树登场！，35.搜索插入位置 和59.螺旋矩阵II都详细讲过循环不变量。

• 确定递归终止条件

这里定义的是左闭右闭的区间，所以当区间 left > right的时候，就是空节点了。

代码如下：

if (left > right) return nullptr;

• 确定单层递归的逻辑

首先取数组中间元素的位置，不难写出int mid = (left + right) / 2;，「这么写其实有一个问题，就是数值越界，例如left和right都是最大int，这么操作就越界了，在二分法中尤其需要注意！」

所以可以这么写：int mid = left + ((right - left) / 2);

但本题leetcode的测试数据并不会越界，所以怎么写都可以。但需要有这个意识！

取了中间位置，就开始以中间位置的元素构造节点，代码：TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);。

接着划分区间，root的左孩子接住下一层左区间的构造节点，右孩子接住下一层右区间构造的节点。

最后返回root节点，单层递归整体代码如下：

int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;

这里int mid = left + ((right - left) / 2);的写法相当于是如果数组长度为偶数，中间位置有两个元素，取靠左边的。

• 递归整体代码如下：

class Solution {
private:TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {if (left > right) return nullptr;int mid = left + ((right - left) / 2); TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);root->left = traversal(nums, left, mid - 1);root->right = traversal(nums, mid + 1, right);return root;}
public:TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);return root;}
};

「注意：在调用traversal的时候为什么传入的left和right为什么是0和nums.size() - 1，因为定义的区间为左闭右闭」。

迭代法

迭代法可以通过三个队列来模拟，一个队列放遍历的节点，一个队列放左区间下表，一个队列放右区间下表。

模拟的就是不断分割的过程，C++代码如下：（我已经详细注释）

class Solution {
public:TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return nullptr;TreeNode* root = new TreeNode(0);   // 初始根节点queue<TreeNode*> nodeQue;           // 放遍历的节点queue<int> leftQue;                 // 保存左区间下表queue<int> rightQue;                // 保存右区间下表nodeQue.push(root);                 // 根节点入队列leftQue.push(0);                    // 0为左区间下表初始位置rightQue.push(nums.size() - 1);     // nums.size() - 1为右区间下表初始位置while (!nodeQue.empty()) {TreeNode* curNode = nodeQue.front();nodeQue.pop();int left = leftQue.front(); leftQue.pop();int right = rightQue.front(); rightQue.pop();int mid = left + ((right - left) / 2);curNode->val = nums[mid];       // 将mid对应的元素给中间节点if (left <= mid - 1) {          // 处理左区间curNode->left = new TreeNode(0);nodeQue.push(curNode->left);leftQue.push(left);rightQue.push(mid - 1);}if (right >= mid + 1) {         // 处理右区间curNode->right = new TreeNode(0);nodeQue.push(curNode->right);leftQue.push(mid + 1);rightQue.push(right);}}return root;}
};

总结

「在二叉树：构造二叉树登场！ 和 二叉树：构造一棵最大的二叉树之后，我们顺理成章的应该构造一下二叉搜索树了，一不小心还是一棵平衡二叉搜索树」。

其实思路也是一样的，不断中间分割，然后递归处理左区间，右区间，也可以说是分治。

此时相信大家应该对通过递归函数的返回值来增删二叉树很熟悉了，这也是常规操作。

在定义区间的过程中我们又一次强调了循环不变量的重要性。

最后依然给出迭代的方法，其实就是模拟取中间元素，然后不断分割去构造二叉树的过程。

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