题面

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。

现在小凯想知道：

在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？
共有多少种无法支付的物品？

注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

输入格式

输入数据仅一行，包含两个正整数 a a a 和 b b b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。

输出格式

输出 2 2 2 个整数，分别表示 2 2 2 个问题的答案。

数据范围

1 ≤ a , b ≤ 1 0 9 1\leq a,b \leq 10^9 1≤a,b≤109

分析

第一个问题：

设无法准确支付的面值为 c c c，所需 a , b a,b a,b 两种货币的数量为 x , y x,y x,y，则： a x + b y = c ax+by=c ax+by=c。

设 s = a / gcd ⁡ ( a , b ) , t = b / gcd ⁡ ( a , b ) s=a/\gcd(a,b),t=b/\gcd(a,b) s=a/gcd(a,b),t=b/gcd(a,b)，因为 gcd ⁡ ( a , b ) = 1 \gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1，所以 s = a , t = b s=a,t=b s=a,t=b

不妨设 a < b a<b a<b。

所以要使 x , y x,y x,y 最有可能都是非负整数，即要使小凯尽可能能准确支付 c c c 这一面额，就要使 x x x 成为最小范数解，所以可以表示为 a ( x % t ) + b ( y + s ⌊ x t ⌋ ) = c a(x\ \%\ t)+b(y+s\lfloor\frac{x}{t}\rfloor)=c a(x % t)+b(y+s⌊tx⌋)=c。

又因为 s = a , t = b s=a,t=b s=a,t=b，所以 a ( x % b ) + b ( y + a ⌊ x b ⌋ ) = c a(x\ \%\ b)+b(y+a\lfloor\frac{x}{b}\rfloor)=c a(x % b)+b(y+a⌊bx⌋)=c。

因为 c c c 不可准确凑出，但是因为 gcd ⁡ ( a , b ) = 1 \gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1，所以方程一定有解，所以显然的， x , ( y + a ⌊ x b ⌋ ) x,(y+a\lfloor\frac{x}{b}\rfloor) x,(y+a⌊bx⌋) 异号。

所以不妨设 x > 0 , ( y + a ⌊ x b ⌋ ) < 0 x>0,(y+a\lfloor\frac{x}{b}\rfloor)<0 x>0,(y+a⌊bx⌋)<0即 y < − a ⌊ x b ⌋ y<-a\lfloor\frac{x}{b}\rfloor y<−a⌊bx⌋ 且 ≤ y ≤ − 1 \leq y \leq -1 ≤y≤−1

所以， 0 < x < b , − a < y < 0 0<x<b,-a<y<0 0<x<b,−a<y<0即 1 ≤ x ≤ b − 1 , − a + 1 ≤ y ≤ − 1 1\leq x\leq b-1,-a+1\leq y\leq-1 1≤x≤b−1,−a+1≤y≤−1

因为不只有 1 1 1 个 c c c，所以 x , y x,y x,y 不相互影响。

所以要使 c c c 最大，只需要使 x , y x,y x,y 也最大即可。

所以答案为： c = a ( b − 1 ) + b ⋅ ( − 1 ) = a b − a − b c=a(b-1)+b\cdot(-1)=ab-a-b c=a(b−1)+b⋅(−1)=ab−a−b

第二个问题：

首先算一下 a x + b y ax+by ax+by 的平均值：

∑ x = 1 b − 1 ∑ y = − a + 1 − 1 a x + b y = ∑ x = 1 b − 1 a x ⋅ ( a − 1 ) − a b ( a − 1 ) 2 = a b ( a − 1 ) ( b − 1 ) 2 − a b ( a − 1 ) ( b − 1 ) 2 = 0 \large \begin{matrix} \sum^{b-1}_{x\ =\ 1}\sum^{-1}_{y=-a+1}ax+by& =&\sum^{b-1}_{x\ =\ 1}ax\cdot (a-1)-\frac{ab(a-1)}{2}\\\\ &=&\frac{ab(a-1)(b-1)}{2}-\frac{ab(a-1)(b-1)}{2}\qquad\\\\ &=&0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \end{matrix} ∑x = 1b−1∑y=−a+1−1ax+by===∑x = 1b−1ax⋅(a−1)−2ab(a−1)2ab(a−1)(b−1)−2ab(a−1)(b−1)0

所以我们可以猜测 a x + b y ax+by ax+by 正好是一半正，一半负，且一一对应，即答案为 ( a − 1 ) ( b − 1 ) 2 \frac{(a-1)(b-1)}{2} 2(a−1)(b−1)。

接下来开始证明。

要证上面的问题，我们可以先表示 − c -c −c 即 a ( − x % t ) + b ( − y + s ⌊ x t ⌋ ) = − c a(-x\ \%\ t)+b(-y+s\lfloor\frac{x}{t}\rfloor)=-c a(−x % t)+b(−y+s⌊tx⌋)=−c，所以 1 − b ≤ − x ≤ − 1 , 1 ≤ − y ≤ a − 1 1-b\leq -x\leq -1,1\leq -y\leq a-1 1−b≤−x≤−1,1≤−y≤a−1，所以的所以 1 ≤ x ≤ b − 1 , − a + 1 ≤ y ≤ − 1 1\leq x\leq b-1,-a+1\leq y\leq-1 1≤x≤b−1,−a+1≤y≤−1，这个范围正好就是前面求得的范围，所以正好一一对应。

证毕

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