什么是冲激函数、时域卷积、冲激响应以及频响曲线

1，线性时不变系统和非线性时变系统

1.1 线性时不变系统

线性时不变系统就是同时满足线性系统和时不变系统。

1. 线性系统

系统的输入输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。即
y1(n)=T[a1x1(n)],y2(n)=T[a2x2(n)]y_1(n)=T[a_1x_1(n)],y_2(n)=T[a_2x_2(n)] y1(n)=T[a1x1(n)],y2(n)=T[a2x2(n)]
则有
T[a1x1(n)+a2x2(n)]=y1(n)+y2(n)T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n) T[a1x1(n)+a2x2(n)]=y1(n)+y2(n)
2.时不变系统

系统对于输入信号的运算关系在整个过程中不随时间变化称为时不变系统。即
y(n)=T[x(n)]y(n)=T[x(n)] y(n)=T[x(n)]
则
y(n−n0)=T[x(n−n0)]y(n-n_0)=T[x(n-n_0)] y(n−n0)=T[x(n−n0)]

1.1 非线性时变系统

非线性时变系统就是不满足上述两个系统的性质。

2，什么是时域卷积

对于线性时不变系统，由于其具有叠加性，齐次性，时不变性，故能实现将任意信号在时域分解为简单单元信号的线性组合，那么只要得到LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统的输出响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合.

2.1 单位脉冲函数和单位冲激函数

2.1.1 脉冲函数

也称δ\deltaδ函数。若在一维空间中，自变量为时间t的函数，满足下述两个条件:

δ(t)={+∞，t=0；0,t≠0；\delta(t)=\begin{cases} +∞，t=0； \\ 0, \space\space\space\space\space\space\space t\neq0；\end{cases} δ(t)={+∞，t=0；0, t=0；

∫−∞∞δ(t)dt=1\int_{-∞}^{∞}{\delta(t)dt}=1 ∫−∞∞δ(t)dt=1

δ\deltaδ函数是一种广义函数，也可以扩展到多维空间中，它的确切意义应该在积分运算下理解：其积分曲线高度为“无限高”，而宽度为“无限窄”，曲线下的面积等于1。δ函数有下述关系式
∫−∞∞δ(t)dt={1，a<0<b；0,other；\int_{-∞}^{∞}{\delta(t)dt}=\begin{cases} 1，a<0<b； \\ 0, \space\space\space\space\space\space\space other；\end{cases} ∫−∞∞δ(t)dt={1，a<0<b；0, other；
注：对脉冲函数积分得到阶跃函数

2.1.2 冲激函数

冲激函数和脉冲函数的性质相同，区别在于单位冲激函数和单位脉冲函数极限逼近方式不同。

脉冲函数图：

冲激函数图：

注：两者概念上不是一个东西，但两者在计算上可以视为等效。

2.2 时域卷积

将x(t)用一系列的矩形脉冲近似，如下图：

第k个矩形可表示为x(kΔ)δΔ(t−k(kΔ))⋅Δx(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k(k\Delta))·\Deltax(kΔ)δΔ(t−k(kΔ))⋅Δ，这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号xΔ(t)x_{\Delta}(t)xΔ(t) ,即
xΔ(t)=∑k=−∞∞x(kΔ)δΔ(t−k(kΔ))⋅Δx_{\Delta}(t) =\sum_{k=-∞}^{∞}{x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k(k\Delta))·\Delta} xΔ(t)=k=−∞∑∞x(kΔ)δΔ(t−k(kΔ))⋅Δ
当Δ→0\Delta →0Δ→0时，kΔ→τk\Delta→ \taukΔ→τ ,δΔ(t−k(kΔ))→δ(t−τ)\delta_{\Delta}(t-k(k\Delta))→\delta(t - \tau)δΔ(t−k(kΔ))→δ(t−τ) ,Δ→dτ\Delta→d\tauΔ→dτ , ∑→∫\sum→\int∑→∫，于是有：
x(t)=∫−∞∞x(τ)δ(t−τ)dτx(t) = \int_{-∞}^{∞}{x(\tau)\delta(t - \tau)d\tau} x(t)=∫−∞∞x(τ)δ(t−τ)dτ
这一公式可根据δ(t)\delta(t)δ(t)的性质直接推导得出
∫−∞∞x(τ)δ(t−τ)dτ=∫−∞∞x(t)δ(t−τ)dτ=x(t)∫−∞∞δ(t−τ)dτ=x(t)\int_{-∞}^{∞}{x(\tau)\delta(t - \tau)d\tau}=\int_{-∞}^{∞}{x(t)\delta(t - \tau)d\tau}=x(t)\int_{-∞}^{∞}{\delta(t - \tau)d\tau} = x(t) ∫−∞∞x(τ)δ(t−τ)dτ=∫−∞∞x(t)δ(t−τ)dτ=x(t)∫−∞∞δ(t−τ)dτ=x(t)
注：任何连续时间信号x(t)都可以被分解为无数多个移位加权的单位冲激信号的线性组合。

当我们输入其他信号测试系统以求输出的时候，只要求该信号和系统冲激响应信号的卷积就可以了，这就是卷积的非常重要的应用。

3，什么是冲激响应（脉冲响应）

3.1 单位冲激响应

单位冲激响应：系统对连续时间信号δ(t)\delta (t)δ(t)的响应，定义为h(t)h(t)h(t)

根据Δ→0\Delta →0Δ→0，kΔ→τk\Delta→ \taukΔ→τ , Δ→dτ\Delta→d\tauΔ→dτ，可得：
∫−∞∞x(τ)δ(t−τ)dτ→∫−∞∞x(τ)h(t−τ)dτ→y(t)=x(t)∗h(t)\int_{-∞}^{∞}{x(\tau)\delta(t - \tau)d\tau}→\int_{-∞}^{∞}{x(\tau)h(t - \tau)d\tau}→y(t) = x(t)*h(t) ∫−∞∞x(τ)δ(t−τ)dτ→∫−∞∞x(τ)h(t−τ)dτ→y(t)=x(t)∗h(t)
结合我们要解决的问题：

总结：只要知道了系统的单位冲激响应h(t)h(t)h(t)，就可以求得系统对任何x(t)x(t)x(t)所产生的响应y(t)y(t)y(t)。说明系统的单位冲激响应h(t)h(t)h(t)可以完全表征一个系统。

3.2 单位阶跃响应

单位阶跃响应就是指系统在接收到单位阶跃函数输入后产生的零状态响应。阶跃函数与冲激函数之间具有微分和积分的关系。

3.3 matlab求单位冲激响应

3.3.1 impulse函数

计算并画出系统的冲激响应。

num=[0 1 3];
den=[1 2 3];
impulse(num,den);

3.3.2 step函数

计算并画出系统的阶跃响应曲线。

num=[0 1 3];
den=[1 2 3];
step(num,den);

3.3.2 dsolve函数

matlab中自带的可以用来解决部分常微分方程的函数（方法）

%desolve函数
h = dsolve('D2h + 2 * Dh + 50 * h =0','Dh(0)=1','h(0)=0');
t = 0:0.001;6;
axis([0,6,-0.08,0.12])
ezplot(h,[0,6]);

4，如何从频响曲线得到对应的回声参数

4.1 频率响应函数

频率响应函数表征了测试系统对给定频率下的稳态输出与输入的关系。这个关系具体是指输出、输入幅值之比与输入频率的函数关系，和输出、输入相位差与输入频率的函数关系。

频率响应函数直观地反映了测试系统对各个不同频率正弦输入信号的响应特性。频率响应是指系统本身的性质，而脉冲响应与阶跃响应都是系统应对输入信号时的反应。

冲激响应的双边傅里叶变换就是频域传递函数或系统频域响应。

4.2 频响曲线

频响曲线是指，在实际测试环境中，使信号发生器的输出信号频率发生连续变化（即通常说的“扫频”）并保持幅度不变，在输出端通过示波器或者其它一些记录仪将放大器对于这种连续变化相应的输出电平记录下来，就可以在一个坐标上描绘出一个电平对应频率的曲线。这个坐标的纵坐标是电平，横坐标是频率。

注：（拓展）

脉冲响应函数与频响函数是一对傅里叶变换对，与传递函数是一对拉普拉斯变换对
注：在线性时不变（LTI）系统的分析中，系统的冲激响应绝对可以算得上是一个核心的概念。所谓的系统冲激响应，指的是当系统输入为单位冲激信号时系统的输出。从一般的教科书中可以了解到，系统冲激响应完全表征了一个LTI系统的特性，这怎么理解呢？
从时域上来看，单位冲激信号是一个最简单的信号，任何复杂的信号都可以很容易地以单位冲激信号为基础进行分解。在分解后的信号中，要么是单位冲激信号乘以幅度，要么是单位冲激信号的时移信号乘以幅度。而由LTI的系统可知，输入信号的延迟或超前会导致输出信号相同的延迟或超前。因此，从时域的角度就很好理解，如果能知道系统对单位冲激信号的响应，那么可以很容易地由LTI系统的叠加性得到任意复杂信号的输出响应。这也就是说，在时域来看，只要知道系统对单位冲激的响应，就可以完全知道一个系统。
从频域来看，或许可以对系统冲激响应有更好的理解。不过，在介绍频域的理解之前，先要明确一个重要的结论：正弦信号是LTI系统的特征信号。这点可以从多个角度去证明。比如说纯数学的观点，LTI系统可以用差分方程来描述，求解差分方程可以得到正弦信号是LTI系统的特征信号。这个结论表明，当LTI系统输入一个正弦信号时，只能输出同频率的信号，改变的只是信号的幅度或相位。因此，如果知道了系统对所有频率的正弦信号的响应的话，则一个系统的特性就完全确定了。单位冲激信号在频域上来看，正好就是一个包括所有频率的信号，这点可从单位冲激信号的频谱看出。因此，LTI系统输入一个单位冲激响应，就相当于输入了所有频率的正弦信号。很自然，其输出就完全表征了这个LTI系统
信号时域卷积的傅里叶变换=信号频域乘积的傅里叶变换
信号的傅里叶变换称为“信号的频谱“，稳定系统单位冲激响应的傅里叶变换称为“系统的频率响应”（系统频率响应中含有系统的幅频响应和相频响应）

结合实际场景分析： 在回声消除模块中，远端信号通过扬声器播放到麦克风采集这一过程相当于一个系统（扬声器播放+信号传播+麦克风采集三个系统），我们想要得到频响曲线：首先第一步要知道整个系统的冲激响应，之后进行傅里叶变换得到频率响应，连续的信号经过测试就可采集到频响曲线。