题目描述

给你两个正整数数组 nums1 和 nums2 ，数组的长度都是 n 。数组 nums1 和 nums2 的 绝对差值和 定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的总和（下标从 0 开始）。

你可以选用 nums1 中的 任意一个 元素来替换 nums1 中的 至多 一个元素，以 最小化 绝对差值和。在替换数组 nums1 中最多一个元素之后，返回最小绝对差值和。因为答案可能很大，所以需要对 109 + 7 取余后返回。

|x| 定义为：

如果 x >= 0 ，值为 x ，或者
如果 x <= 0 ，值为 -x

来源：力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-absolute-sum-difference

示例1：

输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5]
输出：3
解释：有两种可能的最优方案：
- 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者
- 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5]
两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3

示例2：

输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10]
输出：0
解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0

示例3：

输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4]
输出：20
解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7]
绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20

提示：

n==nums1.lengthn == nums1.lengthn==nums1.length
n==nums2.lengthn == nums2.lengthn==nums2.length
1<=n<=1051 <= n <= 10^51<=n<=105
1<=nums1[i],nums2[i]<=1051 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^51<=nums1[i],nums2[i]<=105

解题思路

首先看一个不能完全通过的代码：

class Solution {public int minAbsoluteSumDiff(int[] nums1, int[] nums2) {int n = nums1.length;int maxDiff = 0, p = 0, res = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int temp = Math.abs(nums1[i] - nums2[i]);if (temp > maxDiff) {maxDiff = temp;p = i;}res += temp;}if (maxDiff != 0) {int diff = 0;for (int j : nums1) {int temp = Math.abs(j - nums2[p]);if (temp < maxDiff) {diff = Math.max(diff, temp);}}res -= diff;}return res;}
}

当输入：

57,42,21,28,30,25,22,12,55,3,47,18,43,29,20,44,59,9,43,7,8,5,42,53,99,34,37,88,87,62,38,68,31,3,11,61,93,34,63,27,20,48,38,5,71,100,88,54,52,15,98,59,74,26,81,38,11,44,25,69,79,81,51,85,59,84,83,99,31,47,31,23,83,70,82,79,86,31,50,17,11,100,55,15,98,11,90,16,46,89,34,33,57,53,82,34,25,70,5,1
76,3,5,29,18,53,55,79,30,33,87,3,56,93,40,80,9,91,71,38,35,78,32,58,77,41,63,5,21,67,21,84,52,80,65,38,62,99,80,13,59,94,21,61,43,82,29,97,31,24,95,52,90,92,37,26,65,89,90,32,27,3,42,47,93,25,14,5,39,85,89,7,74,38,12,46,40,25,51,2,19,8,21,62,58,29,32,77,62,9,74,98,10,55,25,62,48,48,24,21

预期返回值为3441，实际返回值为3442。出现这种情况可能的原因是因为数组中存在多对组合，它们的差值的绝对值相等且最大。如何修改代码暂未考虑清楚。

下面，我们学习使用二分查找的方法解决该问题。在进行处理前，先对 nums1 进行拷贝并排序，得到 sorted 数组。然后 在遍历 nums1 和 nums2 计算总的差值 sum 时，通过对 sorted 进行二分查找，找到最合适替换 nums[i] 的值。具体地：

当我们处理到第 i 位时，假设该位的原差值为 diff=abs(nums1[i]−nums2[i])diff = abs(nums1[i] - nums2[i])diff=abs(nums1[i]−nums2[i])，然后从 sorted 数组中通过二分找到最接近 nums2[i] 的值，计算一个新的差值 newDiff（注意要检查分割点与分割点的下一位），如果满足newDiff<diff 说明存在一个替换方案使得差值变小，我们使用变量 maxDiff 记下来这个替换方案所带来的变化，并不断更新 maxDiff。

当整个数组被处理完，maxDiff 存储着最优方案对应的差值变化，此时 sum−maxDiffsum - maxDiffsum−maxDiff 即是答案。
代码如下：

package com.jz.day1122;import java.util.Arrays;
import java.util.Map;
import java.util.Scanner;/*** Leetcode1818. 绝对差值和*/
public class MinAbsoluteSumDiff {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);while (sc.hasNextLine()) {int[] nums1 = Arrays.stream(sc.nextLine().split(",")).mapToInt(Integer::parseInt).toArray();int[] nums2 = Arrays.stream(sc.nextLine().split(",")).mapToInt(Integer::parseInt).toArray();int res = minAbsoluteSumDiff(nums1, nums2);System.out.println(res);}sc.close();}public static int minAbsoluteSumDiff(int[] nums1, int[] nums2) {final int MOD = 1000000007;int n = nums1.length;int[] sorted = nums1.clone();Arrays.sort(sorted);long sum = 0, max = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int a = nums1[i], b = nums2[i];if (a == b) continue;int diff = Math.abs(a - b);sum += diff;int left = 0, right = n - 1;while (left < right) {int mid = left + right + 1 >> 1;if (sorted[mid] <= b) left = mid;else right = mid - 1;}//寻找最接近b的元素，当前位置和下一个位置都检查一下，差值越小，说明越接近int newDiff = Math.abs(sorted[right] - b);if (right + 1 < n) newDiff = Math.min(newDiff, Math.abs(sorted[right + 1] - b));// 使用diff-newDiff，得到的是最大可削减的差值if (newDiff < diff) max = Math.max(max, diff - newDiff);}return (int) ((sum - max) % MOD);}
}

复杂度分析：

时间复杂度：对 sorted 进行拷贝并排序的复杂度为O(nlogn)；遍历处理数组时会一边统计，一边尝试二分，找最合适的替换数值，复杂度为 O(nlogn)。整体复杂度为 O(nlogn)。
空间复杂度：使用 sorted 数组需要 O(n) 的空间复杂度，同时排序过程中会使用 O(logn) 的空间复杂度；整体复杂度为 O(n+logn)。

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