函数的连续性

连续函数

一个函数f在点x0x_0x0处连续，如果lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)x→x0limf(x)=f(x0)。如果函数f对于区间C中的每一个点都连续，则函数f在区间C上连续。
可导函数的连续性
- 如果一函数是连续的，则称其为C0C^0C0函数
- 如果函数存在导函数，且导函数连续，则称其为连续可导，记为C1C^1C1函数
- 如果函数n阶可导，且其n阶导函数连续，则称为CnC^nCn函数

Lipschitz continuity（利普希茨连续）

定义

给定f:Rm→Rmf:R^m\rightarrow R^mf:Rm→Rm,开集B⊆RmB\subseteq R^mB⊆Rm，如果存在Λ∈R0+\Lambda\in R_0^+Λ∈R0+（称为利普希茨常数）,满足
∣∣f(x)−f(y)∣∣≤Λ∣∣x−y∣∣,∀x,y∈B||f(x)-f(y)||\leq\Lambda ||x-y||, \forall x,y\in B∣∣f(x)−f(y)∣∣≤Λ∣∣x−y∣∣,∀x,y∈B
则称f是满足利普希茨连续的。
locally Lipschitz-continuous（局部利普希茨连续）

如果对于z∈Rmz\in R^mz∈Rm，存在L>0L>0L>0，在集合BL(z):={y∈Rm:∣∣y−z∣∣<L}B_L(z):=\{y\in R^m:||y-z||<L\}BL(z):={y∈Rm:∣∣y−z∣∣<L}(z是球心，L是半径)，f是利普希茨连续的，则称f是满足局部利普希茨连续的。
globally Lipschitz-continuous（全局利普希茨连续）

如果在空间RmR^mRm内是利普希茨连续的，则称f是全局利普希茨连续的。
注意
- 在局部利普希茨连续中，Λ\LambdaΛ和球心z的选取有关；在全局利普希茨连续中，Λ\LambdaΛ是固定的，或者说，与集合空间无关。全局利普希茨连续是局部利普希茨连续的，反之不成立。
- 在前面的定义中，∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣可以是任意的范数，但是一旦选定以后就不能再改变了。Λ\LambdaΛ与范数的选取有关，一般选取的是欧几里得范数(L2范数)。

利普希茨连续与可导性，连续性的关系

与连续性的关系

局部利普希茨连续的函数是连续的
证明：由定义，lim⁡y→z∣∣f(x)−f(y)∣∣≤lim⁡y→zΛ∣∣y−z∣∣=0\lim \limits_{y\rightarrow z}||f(x)-f(y)||\leq \lim\limits_{y\rightarrow z}\Lambda||y-z||=0y→zlim∣∣f(x)−f(y)∣∣≤y→zlimΛ∣∣y−z∣∣=0
与可导性的关系

连续可导的函数是利普希茨连续的。
证明较为复杂。

参考资料

维基百科
Lipschitz continuity

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