多元微积分_旋度2.旋度公式推导

与散度度类似，旋度一般描述场内的运动趋势

用curl表示旋度，v⃗\vec{v}v表示一个向量场

因为是二维旋度，前面加2d来区别3d旋度

与散度类似，2d旋度得到的值是一个标量

比如点（3,0）和（0，3）

求得的旋度只能是一个正，负标量

正旋度：

假设一个点(x,y)，它的P和Q分量都是0（原点）

这个点左边邻域输出的Q分量大于0

右边邻域输出的Q分量小于0

P分量上，随着y的增加，p是减小的，所以就导数而言，y的增加P反而变小，P分量对于y的导数是负的，即∂p∂y<0\frac{\partial p}{\partial y}<0∂y∂p<0

Q分量上，随着X的增加，Q是增加的，所以就导数而言，x的增加Q也会增加，Q分量对于x的导数的正值，即∂p∂y>0\frac{\partial p}{\partial y}>0∂y∂p>0

所以2d旋度就是第一个分量的偏导减去第二个分量的偏导

这样∂p∂y\frac{\partial p}{\partial y}∂y∂p越小，差值越有可能是正值

这就是我们2d旋度的公式，

实例：

算术求偏导得到：

求点（3,0）的旋度

求点（0,3）的旋度

点（0,0）带入，得到旋度为0

对应场中原点，没有旋转存在

对应点的旋度：

上面是第一种情况，当Q分量一开始是负值—逐渐变为0----变成正值

还有一种情况就是Q分量是递增的

放到一个以中心旋转的向量场来看

事实上上面的向量场中的任何一点，求得的旋度都是一样

向量场函数v⃗(x,y)=[−yx]\vec{v}(x,y)=\begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix}v(x,y)=[−yx]表示的场

∂Q∂x=∂x∂x=1\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1∂x∂Q=∂x∂x=1

∂P∂y=∂(−y)∂y=−1\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial( -y)}{\partial y}=-1∂y∂P=∂y∂(−y)=−1

所以

∂Q∂x−∂P∂y=1−（−1）=2\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-（-1）=2∂x∂Q−∂y∂P=1−（−1）=2

这表示任意一点的旋度都与输入的变量x，y无关，任意一点的旋度都等于2

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