多元微积分_多元连式法则2 多元连式法则与方向向量

一，用向量表示多元连式法则

前面我们探讨了多元链式法则与偏导

假设有一个向量函数v

这个函数输入一个变量t

输出一个向量

那这个链式法则能用向量表示吗

这个向量函数v的导数如何表示：

（因为只有一个输入值，所以这里是全导）

这样就得到了dx/dt 和dy/dt

而观察链式法则的表达式，可以看出其实它也是一种点积的形式

点积左边的向量其实就是向量f的梯度

右边是我们定义的向量v的导数

而函数f的输入是（x(t),y(t)）也就是我们定义的 v ⃗ ( t ) \vec{v}(t) v (t)这个函数，

再乘以 v ⃗ ( t ) \vec{v}(t) v (t)的导数
最后我们求出的表达式

∇ f ( v ⃗ ( t ) ) ∗ v ⃗ ′ ( t ) \color{red}\nabla f(\vec{v}(t))*\vec{v}'(t) ∇f(v (t))∗v ′(t)

这个表达式有点像复合函数的链式法则

我们有初始函数x(t),y(t)

然后我们定义了中间函数 v ⃗ ( t ) \vec{v}(t) v (t)

而对于多元标量函数（多维映射到一维），梯度因为封装了所有变量的导数信息，所以梯度最能反应多元函数的导数信息

而向量函数 v ⃗ ( t ) \vec{v}(t) v (t)接收t的输入，为了满足所有分量，它可以是三维向量，也可以是多维向量

所以，不管多少维度的多元标量函数，都能用梯度与原函数导数的点击来表示它的导数信息

二，多元链式法则与方向向量

对于上面用向量表示的多元链式法则

接受多元的输入

输出一维

中间函数是我们构建的向量函数，这个向量函数接受一维的输入，输出多维的向量

所以从一维到高维再到一维

f的输入值是v(t)的输出，求f对于v（t）的导数就是

表达式左边是梯度，右边可以理解为方向导数中的方向向量，只不过这个方向向量本身就是导数函数表示的向量

取函数区间内的一点p，往w的方向偏移微小的量

而表达是右边表示方向的向量，它的输入就是任何时候向量v的输出

在这个高维空间中，每一个v的输出点，都代表t等于某个值时v(t)的向量

那么v’(t)代表着这一点的切线向量

我们要求的是一维的t的输入对符合函数f的变化率，在高维空间v中，这个微小的变化量会导致v’(t)的变化，因为这是一个高维的变化，任何一个维度的变化都会引起 v’(t)的变化

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