摆的频率公式_单摆周期的公式推导

记单摆摆球质量为

，摆线长度为

，摆动过程中偏离竖直方向的夹角为

。若摆动的最大角振幅为

，我们来试求摆动周期

。

不考虑空气阻力等非保守力导致的能量损耗，则摆动过程中总机械能守恒

上式中我们将势能零点取在了最低点处，即平衡位置处的势能为零。

在

时，动能为零，机械能为纯势能，我们很容易写出总能量

的一个表达式：

联立(1)和(2)，就可以解出速度的关系式：

另外，我们还可以将速度写成如下的形式：

将(4)代入(3)中，我们可以得到

分离变量后，我们可以两边积分。左边对

的积分代表摆动过程的时间，右边对

积分的结果自然就应该给出这个时间的计算关系式。我们考虑单摆从

摆动到

的过程，所需的时间等于周期

的一半。于是我们可以写下

的公式：

若能将(6)式的积分接出来，就可以得到单摆周期的精确公式。但问题是这个积分的结果并不能用初等函数表示，所以光有这个漂亮的积分式并不解决问题。

不过如果我们关心的是摆幅并不算大的振动，那么就可以利用一些近似方法来处理这个积分，得到近似的结果。

在

时，有

的 McLaurin-Taylor 展开：

为了处理(6)式中的被积函数，最粗暴的近似可以对

和

只保留到展开式中的前2项，于是

代回(6)式后，周期的积分变成

这个积分并不困难，常规操作作三角换元就可以很快搞定了。令

，则

，

，积分上下限

。于是有

我们就得到了大家可能都比较熟悉的单摆周期公式：

当然，我们可以将近似做得更精细一些。对

和

作展开时，我们可以取到展开式(7)的第3项，然后进行一通操作：

圆括号里的这一坨，我们可以接着用二项式展开去作近似：

把这些近似的鬼玩意儿一股脑通通塞回(6)式，我们得到：

同样作三角换元，令

，有

最后进行一些不算繁琐的运算后，我们求得单摆的周期近似为：

一些讨论

以上推导中，我们最多保留到了

展开式的前3项、二项式展开的前2项。如果有谁觉得自己头铁，可以试着继续保留后面的高次项，从头再算一波，近似结果会来得更精确。我查阅到的结果如下：

反正我是不大有勇气再算下去的。

显然这个推导的结果，包括(16)式的结果，在

时，都会很自然地会退化成(11)式

这个结果其实在很多高中教材中都有介绍，常规的证明方法是先证明单摆在小角度近似下作简谐振动(simple harmonic oscillation)，然后通过解运动方程获得角频率(angular frequency)的信息，从而推出周期。当然，猜想角频率

应该取决于诸如摆球质量

、摆线长度

以及重力加速度

，通过量纲分析(dimensional analysis)，也能大致能混出这个结果，这个推导比较简单，留给有兴趣的同学作为练习。

一般我们认为在

的角振幅内，单摆的周期都可以很好地用(11)式来预测，(16)式相当于在更高的精度上对(11)式做了一项修正。

我们不妨计算不同角振幅下(11)和(16)两式的偏差，其中差的无非就是

这个修正项。

好像就算到了

的振幅，误差也不过不到5%，也没有很可怕。

所以我们算了这么一通，究竟图什么呢？(手动狗头)

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