arctanx麦克劳林公式推导过程_徒手搭建三角函数公式推导体系

2024-06-02 02:36:18

高中学习三角函数关系公式，我们知其然，不知其所以然。

记得曾看过一位数学家说过，只要知道逻辑的起点和推理过程，我们就能建立逻辑体系，获知结果。接下来，对三角函数公式的所有的核心公式做一次从零开始的演绎实践。

6个步骤

步骤1

三角定义，结合三角形图

步骤2

三角函数诱导公式，通过函数曲线

步骤3

三角函数恒等式，在单位圆内构造直角三角形

步骤4

三角和与差，构造两个三角形，两个角度之和

步骤5

积化和差，有了上面的步骤4，步骤5的推导逻辑水到渠成。

步骤6

倍角&半角，主要用到了步骤3和步骤4

小结

从步骤1到步骤6，循序渐进的逻辑演绎。逻辑的起点是三角函数的定义，逻辑的过程借助了四张图：三角形，函数曲线，单位圆，两个三角形（辅助线）。这个演绎过程，最核心的是证明三角的和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，因为它撑起了三角函数公式的推导体系。

至此，当我们记住上面四张图，我们就准备好了，随时徒手搭建出三角函数的变换公式的能力。

拓展阅读

两角和差的余弦公式的五种推导方法之对比

P.S. 中秋快乐

后记

对于步骤4三角和差的证明，我是通过几何图形来论证的（数有形能直观，把三角函数关系式映射到三角图形，通过几何位置关系&几何意义再映射回三角函数，以此求证）。这种思路有四种变型，也即有四种几何画法，本文只展示了其中一种。

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