多元微积分_二重积分1

实例1：

如图，曲面z及其定义域

我们很容易找出曲面z与y等于某个值之间的面积积分

如果再给一点宽度的微分dy，就是长×宽×高，

就是求体积了

把y的积分区间写在外层，表达式就是

∫01∫02xy2∗dx∗dy\int_0^1\int_0^2 xy^2*dx*dy∫01∫02xy2∗dx∗dy

计算由内到外层计算

先计算内层的反导数

在计算外层的反导数

实例二：

同样的，给定一个相等于某常数，y=0的直线与z的积分，再加上宽度dx

先计算内部积分

再计算x的积分

得到了完全相同的答案

实例三：

我们还可以对任何给定的区间内的体积积分：

实例四：

y=x2y=x^2y=x2表示的曲线，与x=1和x轴组成的区域

顶部是z=xy2z=xy^2z=xy2

求他们组成的体积

定义dx。dy组成的小长方体

在区域内将他们的体积积分即可

如此，我们需要确定积分的边界

先看y方向，上边边界是曲线y=x2x^2x2,那么y=x2x^2x2,下边的边界是y=0

再来看x的边界

下边界明显是x=0，上边界x=1

这个积分就是：

∫x=0x=1∫y=0y=x2xy2∗dy∗dx\int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=x^2} xy^2*dy*dx∫x=0x=1∫y=0y=x2xy2∗dy∗dx

接下来求解这个二重积分

对于积分

∫x=0x=1∫y=0y=x2xy2∗dy∗dx\int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=x^2} xy^2*dy*dx∫x=0x=1∫y=0y=x2xy2∗dy∗dx

通常先求解内层(∫y=0y=x2xy2∗dy\int_{y=0}^{y=x^2} xy^2*dy∫y=0y=x2xy2∗dy)

即求xy2xy^2xy2的原函数

再求外层积分

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